Termez davlat univesitetining pedagogika instituti

1.2. ko’rinishdagi aniqmaslik. Agar
bo’lsa ifoda ko’rinishdagi aniqmaslik deyila edi. Endi bunday aniqmaslikni ochishda ham funksiyalarning hosilalaridan foydalanish mumkinligini ko’rsatadigan teoremani keltiramiz.
3)-teorema. Agar
1) f(x) va g(x) funksiyalar nurda differensiallanuvchi hamda g’(x)≠0
2)
u holda mavjud va bo’ladi.
Isboti. Teorema shartiga ko’ra mavjud. Aytaylik
bo’lsin. U holda sonni olsak ham shunday N>0 son topilib,
bo’lganda (3)
tengsizliklar bajariladi. Umumiylikni cheklamagan holda N>a deb olishimiz
mumin. U holda [ N ;x] kesmada f(x) va g(x) funksiyalarga Koshi teoremasi qo’llanib quyidagiga ega bo‘lamiz bu yerda
endi c>N bo’lganligi sababli x=c da (3) tengsizlik o’rinli.

Bundan esa

Tenglikka ega bo’lamiz.
Teorema shartiga ko’ra , f(N) va g(N) lar esa chekli sonlar. Shu sababli x ning yetarlicha katta qiymatlarida
kasr kasrdan istalgancha kam farq qiladi

U olda shunday M sonni topib, M larda (4)

tengli o’rinli bo’ladi.
Shunday qilib ixtiyoriy son uchun shunday M soni mavjudki barcha
larda (4) tenglik o’rinli bo’ladi,bu esa
ekanligini anglatadi. Teorema isboti bo’ldi.
Yuuqoridagi isbotlash uchun almashtirishni bajarish yetarli.
Misol. Ushbu limitni hisoblang.
Yechish. , funksiyalar uchun 3-teorema shartlarini tekshiramiz ; 1) bu funsiyalar (0,∞) differensiallanuvchi ; 2)
3) ya’ni mavjud. Demak izlanayotgan limit ham mavjud va tenglik o’rinli.