Теория вероятностей

2.3. Важнейшие дискретные случайные величины
и их законы распределения


1. Вырожденная случайная величина.
Любую константу С можно рассматривать как случайную величину, принимающую одно значение: для любого .
Закон распределения вырожденной случайной величины имеет вид:

	С
	1

Выражение для функции распределения вырожденной случайной величины и ее график также имеют вырожденный вид:




С

x

F(x)

1

0

2. Индикаторная случайная величина.
С любым случайным событием А можно связать случайную величину вида:
.
Случайная величина называется индикатором случайного события А или индикаторной случайной величиной. Она принимает только два значения и , при этом
, .
Закон распределения индикаторной случайной величины имеет вид:

	0	1
	q	p

Аналитическое выражение и график функции распределения имеют вид:


x

3. Биномиальная случайная величина.
Биномиальной называется дискретная случайная величина , представляющая собой число успехов в n независимых испытаниях, проводимых по схеме Бернулли, с вероятностью успеха в одном испытании равной р.
Множество возможных значений биномиальной случайной величины:
.
Вероятности, с которыми значения принимаются, определяются по формуле Бернулли:
.
Закон распределения имеет вид:

	0	1		n

и называется биномиальным законом распределения.
Условие нормировки при этом следует из формулы Бернулли или непосредственно из бинома Ньютона:
.
(Записать аналитическое выражение для функции распределения и построить ее график самостоятельно).
Сокращенное обозначение для биномиальной случайной величины:
.
4. Геометрическая случайная величина.
Геометрической называется дискретная случайная величина , представляющая собой число испытаний, проводимых по схеме Бернулли, до появления первого успеха с вероятностью успеха в одном испытании равной р.
Геометрическая случайная величина имеет счетное множество возможных значений:
.
Вероятности значений определяются по формуле:
.
Закон распределения имеет вид:

	1	2		n

и называется геометрическим законом распределения.
Условие нормировки при этом следует из формулы для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
.
(Записать аналитическое выражение для функции распределения и построить ее график самостоятельно).
Сокращенное обозначение для геометрической случайной величины:
.
5. Пуассоновская случайная величина.
Пуассоновской называется целочисленная случайная величина, множество возможных значений которой
,
а вероятности, с которыми значения принимаются, задаются формулой:
.
Число называется параметром пуассоновской случайной величины.

Закон распределения имеет вид:

	0	1		n

и называется пуассоновским законом распределения.
Условие нормировки при этом следует из разложения экспоненты в ряд Тейлора:
.
(Записать аналитическое выражение для функции распределения и построить ее график самостоятельно).
Сокращенное обозначение для пуассоновской случайной величины:
.