Теория вероятностей

Определение функции распределения случайной величины
Для того, чтобы определять вероятности событий, связанных со случайными величинами, и делать это одним и тем же способом для любых случайных величин, в теории вероятностей вводится понятие функции распределения.
Определение. Функцией распределения случайной величины называется функция , определенная при каждом равенством:
.
Из определения случайной величины следует, что ее функция распределения определена для любого .
Геометрически функция распределения означает вероятность попадания случайной точки левее заданной точки :

Свойства функции распределения
Функция распределения является исчерпывающей вероятностной характеристикой случайной величины, поскольку позволяет определять вероятности любых событий с ней связанных. Это вытекает из следующих ее свойств функции распределения.
F0). для любого .
(свойство следует из определения, так как - вероятность).
F1). Функция распределения является функцией неубывающей: .
▲ . Поэтому в силу свойства 3 вероятности ■.
F2). .
▲ Нестрогое доказательство данного свойства и его смысл состоят в следующем:
в силу свойства 2 вероятности;
в силу аксиомы нормированности Р2).
Строгое доказательство свойства F2) основано на использовании аксиомы непрерывности Р4).
Рассмотрим события , . Нетрудно заметить, что последовательность событий удовлетворяет свойствам: 1) ;
2) . Поэтому в силу аксиомы непрерывности
.
Свойствам аксиомы непрерывности удовлетворяют также события , и поэтому . Поскольку , то ■.
F3). Функция распределения является функцией непрерывной слева, то есть для любого
,
где - предел слева функции распределения в точке х.
▲ Рассмотрим события , . В силу аксиомы непрерывности . Поскольку
,
то ■.
Замечание. Отметим, что если функцию распределения определить как , то она будет функцией непрерывной справа.
Замечание. Свойства F1), F2) и F3) полностью описывают класс функций распределения в смысле следующего утверждения (без доказательства).
Если функция удовлетворяет свойствам F1), F2) и F3), то есть функция распределения некоторой случайной величины , то есть найдется вероятностное пространство и такая случайная величина на этом пространстве, что .
F4). Для любого
,
где - предел справа функции распределения в точке х, - величина скачка функции распределения в точке .
Следствие. Если функция распределения непрерывна в точке , то . Если функция распределения непрерывна для любого , то для любого .
▲ Поскольку справедливо представление

и события в сумме являются попарно несовместными, то в силу аддитивности вероятности
.
Доказательство свойства следует из того, что последовательность событий , удовлетворяет аксиоме непрерывности и поэтому ■.
F5). Для любого
.
▲ Действительно,
■.
Замечание. Геометрически свойства F3), F4) и F5) означают следующее. В точках , где функция распределения имеет разрыв 1 рода, то есть когда , за значение функции распределения принимается левое (нижнее, меньшее). При этом вероятность события является ненулевой и ее значение равно величине скачка . В точках непрерывности функции распределения свойства F3) F4) и F5) содержательными не являются.

F6). Вероятность попадания случайной величины в интервал определяется как приращение функции распределения на этом интервале:
для любых
.
▲ Поскольку и события в сумме являются несовместными, то в силу аддитивности вероятности

или, что эквивалентно,
■.
F7). .
F8). .
F9). .
(Доказать свойства F7), F8) и F9) самостоятельно).
В общем случае график функции распределения может иметь вид:

В приложениях, как правило, встречаются случайные величины, функции распределения которых являются либо везде кусочно-постоянными (дискретные случайные величины), либо везде непрерывными и даже гладкими (непрерывные случайные величины). В каждом из этих случаев существуют более удобные, чем функция распределения, вероятностные характеристики случайных величин.