Теория поля Дубограй

Ta'rif 3. Skayar maydonning gradienti vektor funksiya , (1)
ularning koordinatalari berilgan funksiyaning mos keladigan qisman hosilalari.
Agar berilgan yo'nalishning birlik vektori bo'lsa, u holda (1) formuladan kelib chiqadiki, yo'nalishga nisbatan hosila vektorlarning skalyar ko'paytmasi va , ya'ni.
Lekin = . Keyin , beri .
Bu erda berilgan nuqtadagi gradient vektori bilan vektor orasidagi burchak .

Рисунок 1

B u erdan funktsiya gradientining asosiy xususiyatlariga amal qiling:
1. Berilgan nuqtadagi vektor bu nuqtada maydonning (funktsiyaning) eng katta o'sishi yo'nalishini ko'rsatadi . Bunday holda , - M nuqtasida yo'nalishdagi lotinning eng katta qiymati . (Shunday qilib, vektor koordinata tizimini tanlashga bog'liq emas va uning moduli va har bir nuqtadagi yo'nalishi funktsiya bilan belgilanadi ).
M nuqtadagi skalyar maydonning gradienti M nuqtadan o’tuvchi maydon sathining yuzasiga (chiziqiga) ortogonal.
3. Agar - maydon doimiy bo'lsa, uning gradienti 0 ga teng.
4. Formulalar amal qiladi:
A) ; b)
V) ; G)
e) , bu erda U va V skalar maydonlardir.
e) .
Misol 5. Elektrostatik maydonning gradientini toping , bu erda e - zaryad, berilgan nuqtadan zaryadgacha bo'lgan masofa.
Yechim. Kosmosning barcha nuqtalari ushbu maydonga tegishli bo'lib, u cheksizlikka aylanadi.
Ta'rifi bo'yicha: . Keling, qisman hosilalarni hisoblaymiz:
.
Javob: .
6-misol. Funktsiyaning nuqtadagi eng yuqori o'sish tezligini toping .
Yechim. Maydonning eng katta o'sish yo'nalishi ushbu maydonning gradient vektorini ko'rsatadi. .
M nuqtasida qisman hosilalarning qiymatlarini hisoblaymiz :
Eng katta o'sish tezligi M nuqta yo'nalishi bo'yicha hosilaning eng katta qiymatiga teng
Javob: Funksiyaning eng tez ortish tezligi