Текущая версия страницы пока

Через интегралы Дарбу

Интеграл Римана можно определить альтернативным способом через интегралы Дарбу. Обычно такое определение доказывается как свойство, а теорема об их

эквивалентности называется теоремой Дарбу. Преимущества такого определения в
том, что оно позволяет обойтись без понятия размеченного разбиения, предела по разбиению и даёт более наглядный взгляд на понятие интегрируемости.
Для неразмеченного разбиения обозначим за точную нижнюю грань функции на отрезке , за — точную верхнюю грань.


Нижней суммой Дарбу называется .
Верхней суммой Дарбу называется .^[5]
Нижним интегралом Дарбу называется .
Верхним интегралом Дарбу называется .^[6]
Интегралы Дарбу существуют для любой ограниченной на отрезке интегрирования функции. Если интегралы Дарбу совпадают и конечны, то функция называется

интегрируемой по Риману на отрезке
, а само это число — интегралом Римана.^[7]

Интеграл Дарбу может быть определён также через предел по неразмеченным разбиениям, при диаметре разбиения, стремящемуся к нулю. Предел по неразмеченным разбиениям определяется аналогично пределу по размеченным, но мы дадим формализацию и этого понятия тоже. Пусть — функция, ставящая в соответствие неразмеченному разбиению некоторое число. Число называется пределом функции при диаметре разбиений, стремящемуся к нулю, если




Обозначение: [8]
Такой предел также является частным случаем предела по базе. Базой здесь будет множество , где .^[9] Тогда:
Нижним интегралом Дарбу называется .
Верхним интегралом Дарбу называется .^[10]

Интегрируемые функции

Функция, для которой интеграл Римана в пределах от до существует (если предел равен бесконечности, то считается, что интеграл не существует), называется
интегрируемой по Риману на отрезке [a;b].^[11] Множество функций , интегрируемых на отрезке , называется множеством интегрируемых на функций и обозначается .
Основным и наиболее удобным условием интегрируемости является критерий Лебега: множество интегрируемых на отрезке функций это в точности множество ограниченных и непрерывных почти всюду на этом отрезке функций. Этот критерий позволяет практически сразу получить большинство достаточных условий интегрируемости. Однако доказательство данного утверждения довольно сложное, из- за чего при методическом изложении его часто опускают и основывают дальнейшие доказательства на критерии Римана. Доказательства существования интеграла Римана на основе критерия Римана получаются сложнее, чем на основе критерия Лебега.