Текущая версия страницы пока

Достаточные условия интегрируемости

Все перечисленные далее достаточные условия интегрируемости практически сразу следуют из критерия Лебега.

Непрерывная на отрезке функция интегрируема на нём^[24]
Ограниченная на отрезке функция, разрывная в конечном числе его точек, интегрируема на этом отрезке^[25]
Монотонная на отрезке функция, интегрируема на нём^[26]
Произведение интегрируемой функции на число интегрируемо^[27] Сумма интегрируемых функций интегрируема^[27]
Произведение интегрируемых функций интегрируема^[28]
Если отношение двух интегрируемых функций ограничено, то оно интегрируемо. ^{Частный случай — если множество значений знаменателя не имеет предельной} точкой.^[14]
Модуль интегрируемой функции интегрируем.^[29]
Композиция функций , где — непрерывна на отрезке , а — интегрируема на , интегрируема на .^[30]
Если функция интегрируема на некотором отрезке, то она интегрируема на любом из его подотрезков.^[31]
Пусть и функция интегрируема на и . Тогда она интегрируема на .^[32]
Свойства

Дальнейшие свойства выполняются только если соответствующие интегралы существуют.

Необходимое условие интегрируемости. Интегрируемая на отрезке ограничена на нём.^[33]
Неотрицательность. Для неотрицательной на отрезке функции,


[34]


Положительность. Для неотрицательной и непрерывной на отрезке ^{, которая хотя бы в одной точке отлична от нуля}
[35]
Линейность.


[27]
функция


функции,

Для существования всех этих трёх интегралов достаточно существования двух из них.

Для любого


[27]

Из существования правого интеграла следует существование левого. Если , то из существования левого следует существование правого.

Аддитивность. Для произвольных чисел


[32]

Для существования всех этих трёх интегралов достаточно либо существования интеграла по большему отрезку, либо по двум меньшим.

Монотонность. Пусть и на . Тогда


[34]
Оценка. Пусть , , . Тогда
[36]
Оценка модуля. Пусть .


[29]

Для существования этих двух интегралов достаточно существования левого интеграла.

Существует вариация этого свойства на случай произвольных и .

[37]


Теорема о среднем. Для лучшего понимания сначала сформулируем теорему о среднем в несколько упрощённой формулировке.


Средним значением функции на отрезке называется .




Теорема о среднем гласит: непрерывная на отрезке функция в некоторой точке этого отрезка принимает своё среднее значение.


Можно записать это условие без деления на , чтобы покрыть случай, когда .

В такой записи теорема о среднем верна для любых значений и .
На деле же верно куда более общее условие. Пусть интегрируема на , , . Тогда
[36]
Эту теорему также иногда называют интегральной теоремой о среднем для отличия от следующей.^[38]
Обобщённая теорема о среднем. Пусть функция интегрируема на отрезке , , , а функция интегрируема и знакопостоянна.
Тогда


[39]


^{Теорема вновь верна для любых и .}
Для этой теоремы можно также привести вариацию в случае непрерывности .^[40]

Иногда теоремой о среднем называют именно эту теорему, а не предыдущую. Также, для отличия от последующей, эту теорему называют первой теоремой о среднем.^[41]

Вторая теорема о среднем. Пусть функция интегрируема на отрезке , а функция монотонна. Тогда
[42]
У второй теоремы о среднем есть вариации для неотрицательных функций . Пусть функция интегрируема на отрезке , а функция неотрицательна и не возрастает. Тогда


[43]


Пусть функция интегрируема на отрезке , а функция неотрицательна и не убывает. Тогда
[43]
Независимость от множеств меры нуль. Если две функции интегрируемы на отрезке и равны на нём почти всюду, то их интегралы также равны. Таким образом, значение интеграла Римана не зависит от значения функции на множестве меры нуль. Однако его существование зависит: к примеру ноль и функция Дирихле равны почти всюду, однако интеграл от первой функции существует, а от второй нет.
Интеграл с верхним переменным пределом



Вычисление



История

Вариации и обобщения

См. также

Примечания



Литература



Ссылки



Источник — https://ru.wikipedia.org/w/index.php? title=Интеграл_Римана&oldid=123544581


Последний раз редакт ировалась 5 месяцев назад участ ником 79.111.22.159