Tekislikda va fazoda to‘g‘ri chiziq fazoda tekislik tenglamasi

To‘g‘ri chiziqlar dastasi

Ta’rif. Bir tekislikda yotuvchi va bitta S nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqlarga, markazi S nuqtada bo‘lgan to‘g‘ri chiziqlar dastasi deyiladi. S nuqtani shu dastani tashkil yetuvchi ixtiyoriy ikkita to‘g‘ri chiziq orqali har doim topish mumkin.
Bu nuqtada markazi A₁x+B₁y+S₁₌0, A₂x+B₂y+C₂=0 to‘g‘ri chiziqning kesishishi nuqtasida yotuvchi to‘g‘ri chiziqlar dastasini topish.
Teorema. A₁x+ B₁y+S₁=0 A₂x+B₂y+C₂=0 to‘g‘ri chiziqlar har-xil S nuqtada kesishuvchi to‘g‘ri chiziqlar, va -bir vaqtda nolga teng bo‘lmagan sonlar. U xolda
( A₁x+B₁y+S₁)+ ( A₂x+B₂y+C₂)=0 (3*)
tenglama S nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasi. Bundan tashqari S nuqtadan o‘tuvchi oldindan berilgan har-qanday to‘g‘ri chiziq va larning biror qiymatida (3*) tenglama bilan aniqlanadi.
Isbot. va bir vaqtda nolga teng bo‘lsin, (3*) tenglama to‘g‘ri chiziq tenglamasi ekanligini aniqlaylik, ya’ni x va y oldidagi koeffitsient bir vaqtda nolga teng bo‘la olmasligini e’tiborga olib topamiz. Shunga ko‘ra
( A₁+ A₂)x+( B₁+ B₂)y+( C₁+ C₂)=0
bo‘ladi.
Teskarisini faraz qilamiz, ya’ni A₁+ A₂=0, B₁+ B2=0, 0 deb olsak, u holda , A₁x+B₁y+S₁=0 va A₂x+B₂y+S₂=0 to‘g‘ri chiziqlar parallel bo‘ladi. Bu yesa to‘g‘ri chiziqlar kesishadi va ustma-ust tushmaydi deganidir. Demak A₁+ A₂ yoki B₁+ B₂ koeffitsient bir vaqtda nolga teng yemas (3*) to‘g‘ri chiziq tenglamasi .
S(x₀,y₀) nuqta ikkita to‘g‘ri chiziqning kesishish nuqtasi bo‘lganligi uchun A₁x₀+B₁y₀+S₁=0, A₂x₀+B₂y₀+S₁=0 (A₁x₀+B₁y₀+S₁)+ (A₂x₀+B₂y₀+S₁)=0 S nuqtaning koordinata (3*) tenglamani qanoatlantiradi. (3*) to‘g‘ri chiziq bilan berilgan tenglama S nuqtadan o‘tadi. S nuqtadan o‘tuvchi oldindan berilgan to‘g‘ri chiziq va larning biror qiymatida (3*) tenglama bilan aniqlanishini ko‘rsatamiz.
M(x^*, y^*) nuqta oldindan berilgan to‘g‘ri chiziqdagi S dan farqli nuqta berilsin. U xolda va bir vaqtda nolga teng yemasligini isbotlash yetarli M(x^*, y^*) (3*) tenglamani qanoatlantiradi, ya’ni
( A₁x^*+B₁y^*+S₁)+ ( A₂x^*+B₂y^*+S₂)=0 (3**)
Shu tenglikdagi qavs ichidagi sonlar bir vaqtda nol bo‘la olmaydi, chunki bir vaqtda nol bo‘lsa A₁x+B₁y+S₂=0 va A₂x+B₂y+S₂=0 to‘g‘ri chiziqlar M(x^*, y^*) nuqtada kesishib qoladi bunday bo‘lishi mumkin yemas. A₁x^*=B₁y^*+S₁ 0. U holda berilgan 0 da, (3**) tenglamaning koeffitsienti:

Demak, yo‘qorida aniqlangan va larda (3*) tenglama M(x^*, y^*) nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasi bo‘ladi.