Текисликда аналитик геометрия элементлари

5-расм.
2. Аник интегралнинг жисмлар хажмини хисоблашга тадбики.
а). Жисмнинг хажмини кунгдаланг юзи буйича хисоблаш.
V-хажм аникланиши лозим булган хар бир жисмни караймиз. Бу жисмнинг Ох укига перпендикуляр текислик билан кесимини юзи маълум булсин. Бу кесимлар кунгдаланг кесимлар дейилади.
Кунгдаланг кесимни холати унинг Ох ук билан кесишиш нуктасининг х абсциссаси билан аникланади.

6-расм.

х нинг узгариши билан кесим юзи узгаради. Кунгдаланг кесим х нинг функцияси S=s(х) фараз килайлик, S(x) узлуксиз функция булсин. Жисмнинг V хажмини хисоблаш учун [a, b] кесмани а=х₀< х₁< х₂<...< х_n-1< х_n=b нукталар билан ихтиёрий булакка утказамиз (6-расм). Бу текисликлар жисмни n-та катламга ажратади, уларнинг хажмларини Vi оркали белгилаймиз. У холда V= Vi.

х_i-1 ва х_i абсциссаси кесимлар хосил килган битта катламни караб чикамиз. Унинг Vi хажм баландлиги х_i=x_i-x_i-1 асоси бирор _i абсциссаси жисмнинг кесими билан мос тушадиган тугри цилиндрнинг хажмига такрибан тенг, бунда x_i-1_ix_i ва шунинг учун хам S(_i) .pfuf юзага эга булади.
Бундай цилиндрнинг хажми S(_i)x_i га тенг ViS(_i)x_i.
Берилган жисмнинг хажми учун куйидаги такрибий тенгликни хосил киламиз. V S(_i)x_i
[a, b] сегментни булиши кадами  кичрайиб бориши билан бу такрибий тенгликнинг аниклиги ортиб боради. Шунинг учун хажмнинг аник кийматини булиш кадамига нолга келтириб хосил киламиз.
V= S (_i)x_i
S(_i)x_i йигинди S(x) функциянинг интеграл йигиндисидир. Шунинг учун S(_i)x_i= S(x)dx. Демак V= S(x)dx. S(x) кунгдаланг кесим юзи, а ва b жисм кесими четки нукталарнинг абсциссалардир.
б). Айланиш жисмларини хажмини хисоблаш.
Агар каралаётган жисм у=f(x) чизик билан чегараланган эгри чизикли трапециянинг Ох ук атрофида айланишдан хосил булса, Ох укига перпендикуляр х абсциссаси кесим доирадан иборат булиб, унинг радиуси у=f(x) ординатага мос келади (7-расм).



7-расм.

Бу холда S(x)=y² ёки S(x)=(f(x))² ва Ох уки атрофида айланаётган жисмнинг хажми. V= у²dx ёки V= [f(x)]²dx. Оу уки атрофида айланаётган жисмнинг хажми V= х²dy ёки V= [(у)]²dy бунда х=(у) айланиш жисмни хосил килувчи чизикнинг тенгламаси суd.