Текисликда аналитик геометрия элементлари

Экстремумнинг зарурий шартлари
1- Теорема: Агар дифференциалланувчи y=f(x) функция х₀ нуктада эксторемумга эга булса, у холда унинг шу нуктадаги хосиласи нолга тенг тенг булиши зарур,яъни y = f’(x0) = 0
Теореманинг геометрик маъноси, дифференциалланувчи функция учун экстремум нукталарида уринма Ох укка паралел булади.

y



f’(x₁) = tg0 = 0
f’(x₂) = tg0 = 0





0 x₁ x₂ x

Дифференциалланмайдиган функция хамда экстремум унктасида хосила чексиз ёки мавжуд булмаслиги мумкин.

М
исол: у=х функция укнинг хамма хамма ерида узлуксиз, х=0 нуктада У
y=|x|

y
нинг хосиласи мавжуд эмас, аммо бу нуктада минимумга эга.
Х
0 Х
улоса:Агар функция нуктада экстремумга эга булса,у холда хосила бу нуктада нолга тенг, чекисзликка тенг булади ёки мавжуд булмайди.
Бундай нукталарни критик нукталар дейилади.


Теорема: Агар х₀ критик нуктани уз ичига олувчи интервалда узлуксиз y=f(x) функциянинг f’(x) хосиласи х ₀ нуктадан утишда ишорасини узгартирса, у холда «+» да «-» га алмашганда х₀ нукта максимум нуктаси, ишора «-» да»+» га алмашганда х₀ нукта минимум нуктаси булади.
y=f(x) функциянинг [a, b] кесмадаги энг катта ва энг кичик кийматларини топиш учун :
1). Функциянинг критик нукталарини аниклаш;
2). Функцияларнинг критик нукталаридаги кийматларини ва кесманинг охирларида кийматларини топамиз;
3). Топилган кийматлардан энг катта ва энг кичик кийматларни танлаш керак, ана шу кийматлар функциянинг [a, b] кесмадаги энг катта ва энг кичик кийматларини ифодалайди.
Мисол: у=х₃+3х₂-9х функциянинг [-2; 5] кесмадаги энг катта ва энг кичик кийматларини аникланг.
Теорема: f’(x₀)=0 булиб, иккинчи хосила мавжуд ва f’’(x₀)0 булса,максимум агар f’’(x₀)<0 булса максимум, агар f’’(x₀)>0 булса, минимум булади.
1- Таъриф: Агар дифференциалланувчи y=f(x) функциянинг графиги узининг (а, в) интервалдаги хар кандай уринмасидан юкорида жойлашса, у холда бу функциянинг графиги каварик дейилади.
2- Таъриф: Агар дифференциалланувчи y=f(x) функциянинг графиги узининг (а, в) интервалдаги хар кандай уринмасидан юкорида жойлашса, у холда бу функциянинг графикнинг эгилиш нуктаси дейилади.
1- Теорема: Агар ( а, в ) интервалнинг хамма нуктасида f’’(x₀) < 0 булса, эгри ухолда интервалда y=f(x) функциянинг графиги каварик булади
2- Теорема: Агар ( а, в ) интервалнинг хамма нуктасида f’’(x₀) > 0 булса, ухолда бу интервалда y= f(x) функциянинг графиги ботик булади.
3- Теорема: f’’(x₀) = 0 булса, ёки f’’(x₀) мавжуд булса, уз ишорасини узгартирса,у холда абциссаси х₀ га тенг булган нукта y=f(x)функция графигининг эгилиш нуктаси булади.
Таъриф: Агар y=f(x) функциянинг графигини узгарувчи нуктаси чексиз узоклашганда ундан бирор тугри чизиккача булган масофа нолга интилса, бу тугри чизик y=f(x) функция графигини АСИМПТОТАСИ дейилади.
1. Вертикал асимптоталар :