Tasodifiy kattaliklarning o’rtacha qiymatlari

Statistik nazariyalar asosan tasodifiy voqealarning o’zini emas, balki ularni tavsiflayligan tasodifiy kattaliklarni tadqiq qiladi.
Biror tasodifiy voqea N ta sinovla n_i marta yuz bersa, matematik ehtimollik

ko’rinishida ifodalanadi.
Fizikada tasodifiy kattalik ko’pincha vaqt o’tishi bilan o’zgarib boradi. U holda sistemaning biror holatda bo’lishli ehtimolligi
bunda -kuzatish to’la vaqti , -sistemani mazkur holatda bo’lish vaqti .
Ehtimollik nazariyasida, statistikada taqsimot funksiyasi tushunchasi markaziy o’rin tutadi. Tasodifiy kattalik bir-biriga yaqin juda ko’p qiymatlarga (uzluksiz spektrga) ega bo’lishi mumkin. Bu holda shu kattalikning mumkin bo’lgan qiymatlarining qandaydir oralig’idagi qiymatlarga ega bo’lish ehtimolligi haqida gapirish mumkin.
Masalan, x kattalikning (molekula koordinatasining) oraliqda bo’lish ehtimolligi orqali belgilanadi. Аgar bu ehtimollik cheksiz kichik oraliqda qaralsa, uni orqali belgilanadi. ehtimollik ning qiymati funktsiyasi bo’ladi va oraliqga proporsional bo’ladi.

Demak, mazkur tasodifiy kattalikning ehtimolliklarining barcha qiymatlari taqsimotini funktsiya tavsiflaydi, uni taqsimot funktsiyasi yoki ehtimollik zichligi deyiladi:

Bu taqsimot funktsiyasining turli hollardagi ko’rinishini aniqlash statistik fizikaning asosiy vazifasidir.
Tasodifiy kattalikning barcha imkoniy qiymatlari ehtimolliklari yiginlisi (integrali) ishonchli voqea ehtimolligiga, yaʼni 1 ga teng bo’ladi:

Bu ifodzni normalash (meʼyorlash) sharti deyilali. Tasodifiy kattalikning o’rtacha qiymatlarini aniqlash juda muhim masala, chunki statistika hisoblab chiqadigan o’rtacha kattaliklar termodinamik (makroskopik) sistemalar holatini aniqlaydigan kattaliklarga teng buladi. Shu tarzda statistik fizika termodinamik kattaliklarning fizik maʼnosini tushuntiradi.

3.1 Tasodifiy kattaliklarning o’rtacha qiymatlari

Tasodifiy x kattalik N ta sinovda (kuzatishda) W₁ ehtimollik bilan n₁ marta x₁ qiymatni,w₂ ehtimollik bilan n₂ marta x₂ qiymatni va xokazo,nihoyat,W_k ehtimollik bilan n_k marta x_k qiymatni oladigan bo’lsin_.U holda N ta sinovda x tasodifiy kattalik oladigan qiymatlar yig’indisi
bir sinovga to’g’ri keladigan o’rtacha qiymat

katta bo’lsa , biror tayinli limitga (chegaraviy qiymatga intiladi )

Odatda juda katta deb hisoblanib , o’rtacha qiymat

ko’rinishida ifodalanadi .

Agar tasodifiy kattalik (masalan, gaz molekulasi tezligi) uzluksiz o’zgaradigan bo’lsa (3.7’)dagi integeral bilan almashtiriladi:

• 
  tasodifiy kattalikning kvadrati o’rtachasi quyidagi ifodalar bo’yicha topiladi :
  

Shuningdek , ning funksiyasi o’rtachasi ham hisoblanishi mumkin:

Juda ko’p hollarda o’rtacha qiymatdan chetlanishlarni qarash kerak bo’ladi. Аmmo, o’rtacha chetlanish hamma vaqt nol qiymat beradi:

O’rtachadan chetlanish kvadratining o’rtachasini tasodifiy kattalikning dispersiyasi deyiladi:

Bu ifodaning ikkalasi ham
ko’rinishiga keladi:
Dispersiyadan olingan kvadrat ildizini,fizik kattaliklar qaralganda fluktuatsiya deyiladi: