Tartibini pasaytirish mumkin bo’lgan oddiy differensial tenglamalar faqat erkli o’zgaruvchi va noma’lium funksiyaning n-tartibli hosilasi qatnashgan differensial tenglama

TARTIBINI PASAYTIRISH MUMKIN BO’LGAN ODDIY DIFFERENSIAL TENGLAMALAR
Faqat erkli o’zgaruvchi va noma’lium funksiyaning n-tartibli hosilasi qatnashgan differensial tenglama

Bu paragrafda n-tartibli differensial tenglamalarni ba’zi tipdagilari bilan tanishtiramiz. Ularning umumiy yechimini kvadraturalar orqali ifodalash mumkin. Bunda kvadraturalarni hosil qilish uchun yo berilgan tenglamaga mahsus usullar to’g’ridan-to’g’ri tadbiq etiladi, yo birinchi qadamda tenglama tartibini pasytirib kvadraturalarda integrallanuvchi tenglamaga o’tib olinadi.

Shuni ta’kidlash joizki, tenglama tartibini pasaytirish amali natijasida hosil bo’lgan tenglamani kvadraturalarda integrallash mumkin bo’lmasa ham, bu amal baribir foydadan holi emas. Chunki, tartibi kichik bo’lgan differensial tenglama yechimining hususiyatlarini o’rganish, berilgan tenglama yechimini o’rganishdan yengilroqdir. Shuningdek differensial tenglamalarni taqribiy yoki grafik yechishda ham tartibi kichikroq tenglamalar bilan ishlash oson kechadi. Shuning uchun differensial tenglamani qanday ko’rinishda integallamoqchi bo’lsak ham, birinchi navbatda uning tartibini pasaytirishga harakat qilamiz.
Biz dastlab n-tartibli “chala” differensial tenglamalarni qaraymiz. Ulardan eng soddasi – bu faqat erkli o’zgaruvchi va noma’lium funksiyaning n-tartibli hosilasi qatnashgan differensial tenglamadir. Bunday tenglamalarni ham ikki tipga ajratib o’rganamiz.
1. n-tartibli differensial tenglama quyidagi ko’rinishda berilgan bo’lsin:
(1)
bu yerda funksiya intervalda uzluksiz. Bu tenglamani kvadaraturalarda integrallash qiyin emas.
Haqiqtdan ham munosabatni hisobga olib (1) tenglamani quyidagicha o’zgartirib yozish mumkin:
,
bundan:
, (2)
bu yerda – ihtiyoriy o’zgarmas son, – oraliqdan olingan ihtiyoriy fiksirlangan son.
Yuqoridagiga o’hshash mulohazalar yuritib quyidagilarni topamiz:
, (2,1)
, (2,2)
. . . . . . . . .

(2,n-2)

(2,n-1)
Ohirgi formula (10 tenglamaning barcha yechimlarini o’z ichiga oladi va shu tenglamning
, , , … ,
. (3)
sohadagi umumiy yechimini ifodalaydi. Undan foydalanib (1) tenglamaning ihtiyoriy
, , … , ,
, (4)
boshlang'ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini mumkin. Ihtiyoriy o’zgarmaslarni mos qiymatlarini aniqlash uchun (2), (2,1), (2,2), … , (2,n-2), (2,n-1) formulalarda mos ravishda
, , , … , ,
o'rniga qo’yishlarni bajaramiz, bunda har doim o’rniga ni qo’yamiz. U holda quyidagilar hosil bo’ladi:
, , , … , , . (5)
Ihtiyoriy o’zgarmaslarni bu qiymatlarini (2,n-1) formulaga qo’yib izlanayotgan yechimni topamiz:

(6)
Agar hosil qilingan formulada , , … , larni ihtiyoriy o’zgarmalar deb hisoblasak, u holda uning o’zi (1) tenglamaning (3) sohadagi umumiy yechimini ifodalaydi. Bu joyda izlanayotgan funksiya va uning n-1 tartibgacha hosilalarining boshlang’ich qiymatlari ihtiyoriy o’zgarmaslar rolini o’ynaydi. Hullas (6) formula – (1) tenglamaning Koshi formasidagi umumiy yechimidan iborat.
Ta’kidlash joizki
(7)
funksiya (1) tenglamaning hususiy yechimidan iborat. Uni (2,n-1) umumiy yechim formulasidan da hosil qilishimiz mumin.
Bu hususiy yechim nol boshlang’ich shartlarni qanoatlantirishini ko’rish qiyin emas, ya’ni
, , … , . (8)
(7) formulada n ta kvadratura qatnashadi. Biroq ularni bitta kvadraturaga almashtirish mumkin. Bu yerda quyidagi Koshi formulasi o’rinli bo’lishini ko’rsatish mumkin:
. (9)
Isbotni matematik induksiya usulida olib boramiz. Dastlab n=2 uchun isbotlaylik:

deb hisoblaylik. U holda


n=k uchun (9) formula o’rinli bo’lsin, yani

tenglikka egamiz. Quydagi tenglikni isbotlash kerak

funksiya uchun quydagi tenglikni yoza olamiz:

Bu tenglikning o’ng tomonini bo’laklab integrallaylik:

.
(9) formula isbotlandi.
Endi (6) umumiy yechim ko’rinishini quyidagicha o’zgartirib yoza olamiz:

. (10)
bu yerda , , … , – ihtiyoriy o’zgarmas sonlar.