Ta’rif. Tartib bilan yozilgan n ta x=(x1, x2, …, xn) haqiqiy sonlar sistemasiga n

3.4. EVKLID FAZOSI
Biz yuqorida vektor fazo tushunchasini aniqlab unda vektorlarni qo’shish va songa ko’paytirish amallarini kiritdik, endi vektorlar to’plamida metrika tushunchasini ya’ni vektorning uzunligi va vektorlar orasidagi burchak tushunchalari kiritamiz. Ushbu tushunchalar skalyar ko’paytma yordamida kiritiladi.

Ta’rif. x(x₁,…,xn) y=(y₁,…,yn) vektorlarning skalyar ko’paytmasi deb, quyidagi tenglik bilan aniqlanadigan songa aytiladi. Skalyar ko’paytma quyidagi xossalarga ega:

Ta’rif. x vektorning uzunligi yoki sdfsdfsdoifu tenglik bilan aniqlanadigan songa aytiladi.
Ta’rif. Agar R chiziqli (vektor) fazoda skalyar ko’paytma kiritilgan bo’lib, ushbu skalyar ko’paytma uchun yuqorida keltirilgan to’rtta xossa (aksioma) o’rinli bo’lsa R vektor fazoga Evklid fazosi deyiladi.

Masalan. Tekistlikdagi vektorlar to’plami odatdagi skalyar ko’paytmaga ko’ra Evklid fazosi bo’ladi. Kiritilgan uzunlik (norma) uchun quyidagi xossalar o’rinlidir.

Ikkita x va y vektorlar orasidagi burchak formula yordamida topiladi, bunda .

Agar ikkita x va y vektorlarning skalyar ko’paytmasi 0 teng bo’lsa, ushbu vektorlarga ortogonal vektor deyiladi va kabi belgilanadi.

vektorlar sistemasiga ortonormal bazis deyiladi, agar

bo’lsa

Ortonormal bazislar sistemasi albatta chiziqli erkli bo'lib ular bazis hosil qiladi.

Haqaqatan ham agar, vektorlar sistemas n-o’lchamli R fazoning ortonormal bazisi bo’lsa, u vaqtda ularning chiziqli erkli bo’lishini ko’rsatamiz, ya’ni.

tenglik faqat da o’rinli:

(1) tenglikni ixtiyoriy vektorga skalyar ko’paytmasini toksak, bo’lib, bundan uchun, uchun, bo’lishini e’tiborga olib , ixtiyoriy uchun o’rinli bo’lishini olamiz. Demak, berilgan vektorlar sistemasi chiziqli erkli ekan.

Quyidagi teoremani isbotsiz keltiramiz.