Ta’rif. Tartib bilan yozilgan n ta x=(x1, x2, …, xn) haqiqiy sonlar sistemasiga n

Teorema. Har qanday o’lchamli n o’lchamli Evklid fazosida ortonormal bazis mavjud.

Masalan, n o’lchamli fazoda ortonormal bazisga misol sifatida vektorlar sistemasini olish mumkin.

4.5. CHIZIQLI OPERATORLAR.
Chiziqli operatorlar tushunchasi. Matritsalar algebraning fundamental tushunchalaridan biridir. Bizga ikkita n- o’lchamli Rⁿ chiziqli fazo va m- o’lchamli R^m chiziqli fazolar berilgan bo’lsin.

Ta’rif. Agar biror qoida yoki qonunga muvofiq Rⁿ fazoning har bir x vektoriga R^m fazoning yagona y vektori mos qo’yilgan bo’lsa, u vaqtda, aniqlanish sohasi Rⁿ da, qiymatlar sohasi R^m da bo’lgan operator (almashtirish, akslantirish) berilgan deyilgan va kabi berilgan.

x vektorga y ning proobrazi yoki asli, y vektorga x vektorning obrazi yoki aksi deyiladi.

operatorga chiziqli operator deyiladi, agar Rⁿ fazoning ixtiyoriy x, y vektorlari uchun va har qanday (haqiqiy) son uchun quyidagi ikkita xossa bajarilsa:

Faraz qilaylik chiziqli operator Rⁿ fazoni o’zini o’ziga aksinlantirsin va bundan keyin biz huddi shunday chiziqli operatorlarni qaraymiz.

Rⁿ fazoda bazisni tanlaymiz va ixtoyoriy ning obrazini topamiz:

ushbu x vektorning bazis vektorlar orqali yoyilmasi bo’lib, A operatorning chiziqligidan tenglik kelib chiqadi. ham o’z navbatida Rⁿ ning vektori bo’lgani sababli, uni ham bazis vektorlar orqali yoyish mumkin, ya’ni bo’lsin. U vaqtda

Ikkinchi tomondan vektor ham koordinatalarga ega bo’lishini e’tiborga olsak yoyilmani hosil qilamiz, vektorni bazis vektorlar bo’yicha yoyish yagonaligi sababli, quyidagi tengliklarni yozamiz:

- matritsa operatorning bazisidagi matritsasi deyiladi.

Ushbu sistema matritsa tenglama ko’rinishida yozamiz. Demak, berilgan bazisda har qanday chiziqli operatorga aniq bir matritsa mos keladi va aksincha har qanday n tartibli matritsaga Rⁿ fazoda chiziqli operator mos keladi.