Ta’lim vazirligi nizomiy nomidagi toshkent davlat pedagogika universiteti fizika-matematika fakulteti

OZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O‘RTA MAXSUS
TA’LIM VAZIRLIGI
NIZOMIY NOMIDAGI TOSHKENT DAVLAT PEDAGOGIKA UNIVERSITETI
FIZIKA-MATEMATIKA FAKULTETI





MUSTAQIL ISH


Ta’lim yo’nalishi: Matematika va informatika
Guruh 103.
Talabaning F.I.Sh_Sanoqulova Charos


MAVZU:FUNKSIYANING LIMITI VA UZLUKSILIGIGA OID INDIVIDUAL MASALALAR YECHISH.
1.Funksiya limiti, limitlar haqida teoremalar.
2. Ajoyib limitlar.
3. Funksiyaning uzluksizligi.

1. Funksiya limiti, limitlar haqida teoremalar

Ta’rif. Agar har bir son uchun shunday son topilsaki, bajarilganda (1) ham bajarilsa, x argument a ga intilganda funksiya A songa teng limitga ega deyiladi va quyidagicha belgilanadi:
*funksiyaning limiti qaralayotganda a nuqta funksiyaning aniqlanish sohasiga kirishi yoki kirmasligi ham mumkin. Funksiyaning a nuqtadagi limiti topilganda deb qaraladi.
Quyidagi uch holni qarab otamiz:
1-hol. A – chekli
2-hol. a – chekli,
3-hol. 1-hol. Avvaldan berilgan har qanday cheksiz kichik son uchun shunday son topilsinki, bolganda bolsin;
2-hol. Avvaldan berilgan har qanday istalgancha katta son uchun shunday topilsinki, bolganda bolsin:

3-hol. Avvaldan berilgan har qanday istalgancha katta son uchun shunday son topilsinki, bolganda kelib chiqsin. .

Ozgarmas funksiyaning limiti shu ozgarmas songa teng.Isboti. berilgan bolsin. Unda har qanday uchun ni yoza olamiz.
Demak, ixtiyoriy a uchun
Limitlar haqidagi teoremalar
Funksiyaning limiti haqidagi asosiy teoremalar (yigindi, kopaytma, bolinma haqidagi) ketma-ketlik limitlarining teoremalariga oxshash funksiyaning limitini hisoblashni ham osonlashtiradi.
1-teorema. Funksiyalar yigindisining (ayirmasining) limiti shu funksiyalar limitlarining yigindisiga(ayirmasiga) teng:
2-teorema. Funksiyalar kopaytmasining limiti shu funksiyalar limitlarining kopaytmasiga teng:
Natija. Ozgarmas kopaytuvchini limit ishorasining oldiga chiqarish mumkin
3-teorema. Funksiyalar bolinmasining limiti shu funksiyalar limitlarining bolinmasiga teng, qachonki, boluvchi funksiyaning limiti noldan farqli bolganda:
4-teorema. Agar va funksiyalari uchun a nuqtaning biror oraligida tengsizliklar bajarilib, bolsa u holda boladi.
1-misol. ni hisoblang.
Yechish. Funksiyaning limitlari haqidagi teoremalardan foydalanib, quyidagilarni topamiz:
2-misol. ni hisoblang.
Yechish. Maxrajning limitini topamiz:
Shuning uchun 3-teoremadan foydalanamiz:
2. Ajoyib limitlar
Yoy sinusining shu yoyga nisbatining limiti:
Bu tenglik birinchi ajoyib limit deb yuritiladi.
Bunday tenglik yordamida trigonometrik funksiyalar qatnashgan kopchilik limitlar hisoblanadi.
1-teorema. ozgaruvchi miqdor da 2 bilan 3 orasida yotuvchi limitga ega.
Ta’rif. ozgaruvchi miqdorning dagi limiti e soni deyiladi.;
e soni irratsional son: e=2, 7182818284...
2-teorema. x cheksizlikka intilganda funksiya e limitga intiladi, ya’ni .
3. Funksiyaning uzluksizligi
Fаrаz qilаylik, bizgа Х sоhаdа аniqlаngаn y=f(x) funksiya bеrilgаn bolsin. Аgаr y=f(x) funksiyaning аrgumеnti х=х0 nuqtаdа аniqlаngаn bolib, ungа birоr Dх оrttirmа bеrsаk, u hоldа shu nuqtаgа mоs kеlgаn funksiyaning оrttirmаsi hаm y+Dy=f(x0+Dx) boladi. Bizgа bеrilgаn funksiyani x=x0 nuqtаdаgi Dx оrttirmаsigа mоs kеlgаn Dy оrttirmаni tоpаdigаn bolsak,

Dy=f(x0+Dx)-f(x)

boladi.
Tа’rif. y=f(x) funksiyaning аrgumеnti x®x0 dа funksiyaning ozi shu nuqtаdаgi uning хususiy qiymаtigа intilsа, ya’ni f(x)®f(x0) bolsa, u hоldа y=f(x) funksiyasi Х toplаmni x=x0 nuqtаsidа uzluksiz dеyilаdi vа limit quyidagicha yozilаdi.
f(x)=f(x0)
Tа’rifdаn korinаdiki, y=f(x) funksiya birоr x=x0 dа uzluksiz bolishi uchun quyidаgi shаrtlаr bаjаrilishi kеrаk:
1. y=f(x) funksiya x=x0 nuqtаdа аniqlаngаn
2. y=f(x) funksiyaning x=x0 nuqtаdаgi limit qiymаti mаvjud
f(x)
3. y=f(x) funksiyaning x=x0 dаgi limit qiymаti uning shu nuqtаdаgi хususiy qiymаtigа tеng , ya’ni f(x)=f(x0)
Yuqоridа аytib otilgаn uchtа shаrt bаjаrilgаndа y=f(x) funksiya x=x0 nuqtаdа uzluksiz funksiya dеyilаdi, аks hоldа esа y=f(x) funksiya x=x0 nuqtаdа uzulishgа egа dеyilаdi.
Misоl. y=2x+1 funksiyasini x=2 nuqtаdаgi uzluksizligi korsаtilsin
Yechish. (2x+1)=5; f(2)=5
Uzluksizlik tushunchаsigа e vа d tilidа quyidаgi tа’rif bеrilgаn.
1-ta’rif (Koshi ta’rifi). "e > 0 son uchun shunday d = d(e)>0 son topilsaki, funksiya argumenti x ning |x-x0|1-misol. Ushbu f(x)= funksiyaning x0=5 nuqtada uzluksiz ekanini korsating.
Yechish. "e > 0 son olib, bu e songa kora d >0 soni d = 4e bolsin deb qaralsa, u holda |x-5|bu esa qurilayotgan funksiyaning x0=5 nuqtada uzluksiz ekanini bildiradi.
2-ta’rif (Geyne ta’rifi). Agar X toplamning elementlaridan tuzilgan va x0 ga intiluvchi har qanday {xn} ketma-ketlik olinganda ham funksiya qiymatlaridan tuzilgan mos {f(xn)} ketma-ketlik hamma vaqt yagona f(x0) ga intilsa, f(x) funksiya x0 nuqtada uzluksiz deb ataladi.
Agar munosabat orinli bolsa, ushbu munosabat ham orinli boladi.
Odatda x-x0 ayirma argument orttirmasi, f(x)-f(x0) esa funksiyaning x0 nuqtadagi orttirmasi deyiladi. Ular mos ravishda Dx va Dy (Df(x0)) kabi belgilanadi, ya’ni: Dx=x-x0, Dy=Df(x0)=f(x)-f(x0).
Demak, x=x0+Dx, Dy=f(x0+Dx)-f(x) natijada, munosabat ko`rinishga ega bo’ladi.
Shunday qilib, f(x) funksiyaning x0 nuqtada uzluksizligi bu nuqtada argumentning cheksiz kichik orttirmasiga
funksiyaning ham cheksiz kichik orttirmasi mos kelishi sifatida ham ta’riflanishi mumkin.
Tа’rif. y=f(x) funksiyasining аrgumеnt оrttirmаsi Dx®0 dа ungа mоs kеluvchi funksiya оrttirmаsi Dy®0 bolsa, u hоldа y=f(x) funksiya x=x0 da uzluksiz dеyilаdi vаDy=0 kabi yozilаdi. x=x0+Dx, Dx=x-x0, Dy=f(x0+Dx)-f(x0), Dy=f(x)-f(x0)
Dy=(f(x0+Dx)-f(x0))=(f(x0+x-х0)-f(x0))=(f(x)-f(x0))=0 Misоllar
1) y=2x+1 funksiyaning uzluksizligi korsаtilsin.
y+Dy=2(x+Dx)+1, ayirmani topamiz Dy=2x+2Dx+1-2x-1, Dy=2Dx
Dy=2Dx =0
2) y=x3
y+Dy=(x+Dx)3
Dy=x3+3x2Dx+3x(Dx)2+Dx3 Dy=x3+3x2Dx+3xDx2+Dx3-x3
Dy=Dx(3x2+3xDx+Dx2)
Dy= (3x2+3xDx+Dx2)Dx=0.
3) f(x)=cosx funksiyaning "x0ÎR nuqtada uzluksiz bolishini korsating.
Yechish. "x0ÎR nuqtani olib unga Dx orttirma beraylik. Natijada f(x)=cosx ham ushbu Dy=cos(x0+Dx)-cosx0 orttirmaga ega bolib,va -p|Dy| = |cos(x0+Dx) - cosx0|=
munosabatga ega bolamiz. Bundan esa Dx®0 da Dy®0 bolishi kelib chiqadi.
Aytaylik, y=f(x) funksiya xÌR toplamda aniqlangan bolib, x0(x0ÎX) toplamning (o’ng va chap) limit nuqtasi bolsin. Bunda x®x0 da f(x) funksiya uchun quyidagi uch holdan bittasigina bajariladi:
1)chekli f(x0-0), f(x0+0) chap va ong limitlar mavjud va
f(x0-0)=f(x0+0)=f(x0) tenglik orinli. Bu holda f(x) funksiya x=x0 da uzluksiz bo`ladi;
2) f(x0-0), f(x0+0) lar mavjud, lekin f(x0-0)=f(x0+0)=f(x0) tengliklar bajarilmaydi, u holda f(x)®x=x0 nuqtada bir tur uzilishga ega deyiladi;
3) f(x0-0), f(x0+0) larning birortasi cheksiz
yoki mavjud emas. Bu holda x0 nuqtada 2 tur uzilishga ega deyiladi;
4) f(x0-0)=f(x0+0)¹f(x0) bolsa bunday uzilish, bartaraf qilish mumkin bolgan uzilish deyiladi.
Misol. Ushbu f(x)=[x] funksiyaning x0=2 nuqtada birinchi tur uzulishga ega ekanligini korsating.
Yechish. Demak, [x]=1, =2
Bundan esa berilgan yoki mavjud emas. Bu holda x0 nuqtada 2 tur uzilishga ega deyiladi;
4) f(x0-0)=f(x0+0)¹f(x0) bolsa bunday uzilish, bartaraf qilish mumkin bolgan uzilish deyiladi.
Misol. Ushbu f(x)=[x] funksiyaning x0=2 nuqtada birinchi tur uzulishga ega ekanligini korsating.
Yechish. Demak, [x]=1, =2