Tа’rif A1, A2, …,An to‘plаmlаrdа аniqlаngаn n o‘rinli munosаbаt

Tа’rif 1. A₁, A₂, … ,A_n to‘plаmlаrdа аniqlаngаn ⁿ o‘rinli munosаbаt yoki ⁿ o‘rinli

R-predikаt deb,

А₁  А₂  А_n

dekаrt ko‘pаytmаning ixtiyoriy qism to‘plаmigа

аytilаdi. Boshqаchа so‘z bilаn аytgаndа

x₁,

x₂, , x_n

elementlаr ( x₁A₁, …, x_nA_n)

R munosаbаt bilаn boglаngаn deyilаdi vа

R(x₁,

x₂, , x_n )

kаbi bylgilаnаdi, yaъni

(x₁, x₂ , ...., x_n ) R  А₁  А₂  А_n

Tа’rif 2. Аgаr ⁿ =1 bo‘lsа, R munosаbаt А₁ to‘plаmning qism to‘plаmi bo‘lаdi vа

unаr munosаbаt yoki xossа deyilаdi.

Eng ko‘p uchrаydigаn munosаbаt ikki o‘rinli munosаbаt ( ⁿ =2) hisoblаnаdi, bundаy hollаrdа ikki o‘rinli munosаbаt binаr munosаbаt yoki moslik deyilаdi.

Tа’rif 3. Dekаrt ko‘pаytmаning ixtiyoriy bo‘sh bo‘lmаgаn qism to‘plаmigа

munosаbаt deyilаdi.

R-munosаbаt bo‘lsin, u holdа

R  А В

bo‘lаdi.

 x,

y  R

yozuv o‘rnigа

ko‘pinchа o‘qilаdi.

x R y

yozishаdi vа “x element y gа nisbаtаn R munosаbаtdа ” deb

.Misol 1.

А  {1,

2 , 3} vа

В  {1 ,

2} bo‘lsin, u holdа

А В  { 1,1 ,  1, 2 ,  2 ,1 ,  2 ,

2 ,  3 , 1 ,  3,

2 }

Munosаbаt

R  { 1, 1 ,  3 ,

2 }ko‘rinishdа bo‘lsin, bu

munosаbаtgа turlichа mаzmun berish mumkin. Mаsаlаn 1) R ning elementlаri biror bir egri chiziq oxirlаri deyishimiz

mumkin. 2) R munosаbаt bilаn аniqlаngаn nuqtаlаr qizil rаng bilаn bo‘yalgаn. x vа y qizil nuqtаlаr koordinаtаlаri.

Turli tаbiаtli ob’yktlаr o’zаro munosаbаtgа kirishishlаri mumkin.

x R y :

Misol 2. А – to‘plаm elementlаri kitob nаshriyotlаri nomlаri bo‘lsin.

B - to‘plаm elementlаri ushbu kitoblаrni sotаdigаn firmаlаr bo‘lsin,

u holdа R-munosаbаtgа nаshriyot vа firmаlаr o‘rtаsidа tuzilgаn shаrtnomаlаr to‘plаmi deb, mа‘no berish mumkin.

Tа’rif 4. RAⁿ munosаbаtgа А to‘plаmdаgi n o‘rinli munosаbаt (predikаt)

deyilаdi.

^{Tа’rif 5. Ixtiyoriy А to‘plаm uchun id}A^{={(x,x): xA} munosаbаt аyniy munosаbаt} deyilаdi. U_A=A²=AxA munosаbаtgа universаl munosаbаt yoki dekаrt kvаdrаt deyilаdi.

id_A gа diogаnаl, U_A gа to‘liq munosаbаt hаm deyishаdi.

^{Tа‘rif 6. R-munosаbаtning chаp sohаsi yoki аniqlаnish sohаsi D}l ^{deb, R-} munosаbаtgа tegishli juftliklаr birinchi elementlаridаn iborаt to‘plаmgа аytilаdi.

D_l={x: (x,y)R,

D_l { x :

(x ,

y) R,

y В}

Tа‘rif 7. R-munosаbаtning o‘ng sohаsi yoki qiymаtlаr sohаsi

^D_r deb, R-

munosаbаtgа tegishli juftliklаrning ikkinchi elementlаr to‘plаmigа аytilаdi.

D_r { y : (x,

y) R,

x  А}

Geometrik mа‘nodа ^D_l

- R-munosаbаtning X to‘plаmgа proyektsiyasi,

^D_r - R-

munosаbаtning Y toplаmdаgi proyektsiyasi hisoblаnаdi.

Tа’rif 8.

belgilаnаdi.

D_l  D_r

yigindigа R-munosаbаt mаydoni deyilаdi vа F(R) kаbi

R-munosаbаtning chаp vа o‘ng sohаlаridаgi bir xil qiymаtgа egа bo‘lgаn elementlаri,

ikkаlа tomongа hаm tegishli deb hisoblаnаdi. Shuning uchun hаm xususаn kvаdrаt uchun F(R)=А.

^А2 dekаrt

Tа’rif 9.

deyilаdi.

R^1  {(y , x):

(x , y) R}

to‘plаmgа R munosаbаtgа teskаri munosаbаt

Tа’rif 10. А to‘plаmning R munosаbаtgа nisbаtаn tаsviri deb,

R(A)  {y :(x , y) R, бирор бир х  А}to‘plаmgа аytilаdi.

Tа’rif 11. А to‘plаmning R munosаbаtgа nisbаtаn аsli deb, А to‘plаmning R munosаbаtgа nisbаtаn tаsvirigа аytilаdi.

^{R1( A)} to‘plаmgа yoki

Misol 3. А={2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} to‘plаmdа

R  {(x, y): x , y A, x

element

y ni boladi va

х  3}

u holdа R={(2,2), (2, 4), (2,6), (2, 8), (3, 3), (3, 6)}

D_l = {2, 3}- аniqlаnish sohаsi. D_r={2, 3, 4, 6, 8} – qiymаtlаr sohаsi.

R^-1= {(2, 2), (4, 2), (6, 2), (8, 2), (3, 3), (6, 3)} – R gа teskаri munosаbаt.

R(A)={y : (x, y)R={(3,3), (3, 6)}}={3, 6} – A ning R gа nisbаtаn tаsviri,

R^-1 (A)={x : (x,y)R={(3,3), (3, 6)}}={3}

Tа’rif 12.

^{R 1 A B} vа

R ₂  B  C

binаr munosаbаtlаrning kopаytmаsi yoki

kompozitsiyasi deb,

R₁  R ₂

 {(x, y): x  A, yC ва zB topiladiki

(x, z)R ₁

va (z, y)R ₂}

to‘plаmgа аytilаdi.

Teoremа. Ixtiyoriy P, Q, R binаr munosаbаtlаr uchun quyidаgi xossаlаr o‘rinli.

1) ^{(P1)1  P}

2) ^{(P  Q)1  Q1  P1}

3) (P  Q)  R  P  (Q  R) .

Munosabatlarning turlarini ularning matritsalari orqali aniqlash qulay. Buning uchun biror A={1,2,3,4} to’plamni olamiz. Bu to’plamning dekart kvadratidan biror R munosabatni olamiz.

R={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,4),(3,3),(4,3),(4,4)}. Bu munosabatni tekislikda belgilab olamiz. Buning uchun x o`qqa va y o`qqa to`plam elementlarini joylashtirib chiqamiz. Munosabat bor o`rinni • bilan, munosabat yo`q o`rinni x bilan belgilaymiz: A
A

Munosabat tekislikdagi ifodasiga asosan munosabat matritsasini tuzamiz. Buning uchun x o`qdagi elementlarni satr, y o`qdagi elementlarni ustun nomerlari sifatida olamiz. lar o`rniga 1 lar, x lar o`rniga 0 lar qo`yib, quyidagi matritsani, bu matritsani transponirlab unga teskari matritsani hosil qilamiz:

1 1 0 0 0

[R] = 1 1 0 0 ; [R^-1] =

0 0 1 1

0 0 1 1

1 1 0 0

1 1 0 0

0 0 1 1

0 0 1 1

1. 
   Munosabat refleksivlik bo`lishi uchun [E] [R] shart bajarilishi kerak:
   

[E] =	0	1	0	0
	0	0	1	0
	0	0	0	1

1 0 0 0

Bu shart bajariladi, demak, berilgan munosabat refleksivlik shartini qanoatlantiradi.

2. 
   Simmetriklik sharti quyidagicha: [R]=[R^-1]. Berilgan munosabat va unga teskari munosabatning matritsalari teng. Demak, berilgan munosabat simmetriklik shartini qanoatlantiradi.
   

1. 
   
   Tranzitivlik sharti quyidagicha tekshiriladi: [R] [R] [R] . [R] matritsani o`z-oziga matritsalarni ko’paytirish qoidasiga ko’ra ko’paytirib, kamida bitta 1 kelgan o`rinda 1 yozamiz:
   

1 1 0 0	1 1 0 0		1 1 0 0
[R] [R]= 1 1 0 0	1 1 0 0	=	1 1 0 0
0 0 1 1	0 0 1 1		0 0 1 1
0 0 1 1	0 0 1 1		0 0 1 1
Tranzitivlik sharti	bajariladi, chunki	hosil	bo`lgan matritsa berilgan matritsa

bilan bir xildir. Har qanday matritsa o’z -o’ziga qism matritsa bo’ladi.

2. 
   Antisimmetriklik shartini tekshiramiz. [R] [R^-1] [E]
   

Bunda matritsalarning mos o’rinliklaridagi elementlar ko’paytiriladi:

[R] [R^-1] =	1 1	1 1	0 0	0 0		1 1 0 0 1 1 0 0	=	1 1	1 1	0 0	0 0
	0 0	0 0	1 1	1 1		0 0 1 1 0 0 1 1		0 0	0 0	1 1	1 1

[R] [R^-1] [E] chunki a_1,2 , a_2,1, a_3,4,a_4,3 o’rinlarda 1 lar bor, shuning uchun matritsalarning kesishmasi birlik matritsaga qism emas. Bundan kelib chiqadiki, munosabat antisimmetrik emas.

5. Antirefleksivlik shartini tekshiramiz: [R]	=	Bu shart	bajarilmaydi .
Chunki bu ikkita matritsaning kesishmalaridan bo’ladi.	yana	[E] birlik	matritsa hosil

6. To’lalik sharti. Munosabat to’la bo’lishi uchun [R] ^-1]= U shart bajarilishi kerak. Tenglikning chap tomonidagi birlashmalar natijasida barcha elementlari 1 lardan iborat matritsa kelib chiqishi kerak. Tekshirib ko`rganimizda bunday matritsa hosil bo’lmasligini ko`ramiz. Shuning uchun berilgan munosabat to’la emas.

Munosabatlarning ichida eng ko’p uchraydigan ekvivalent munosabatlardir.

Quyidagi 3 ta shartni qanoatlantiradigan munosabat ekvivalent munosabatdir:

1. 
   Refleksivlik. Agar A to’plamdagi ixtiyoriy x element to’g’risida u o’z-o’zi bilan R munosabatda deyish mumkin bo’lsa, A to’plamdagi munosabat refleksiv munosabat deyiladi va x R x ko’rinishda belgilanadi. Yoki boshqacha ko`rinishda yozadigan bo`lsak, (x,x) .
   
2. 
   Simmetriklik. Agar A to’plamdagi x elementning y element bilan R munosabat bo’lishidan y elementning ham x element bilan R munosabatda bo’lishi kelib chiqsa, A to’plamdagi R munosabat simmetrik munosabat deyiladi va x R y y R x ko’rinishda belgilanadi. Yoki boshqacha ko`rinishda yozadigan bo`lsak,
   

(x,y) ═> (y,x)

3. 
   Tranzitivlik. Agar A to’plamdagi x elementning y element bilan R munosabatda bo’lishi va y elementning z element bilan R munosabatda bo’lishidan x elementning z element bilan R munosabatda bo’lishi kelib chiqsa , A to’plamdagi R munosabat tranzitiv munosabat deyiladi va x R y, y R z x R z ko’rinishida belgilanadi. Yoki boshqacha ko`rinishda yozadigan bo`lsak,
   

, (y,z) (x,z)

1. 
   Birdan farqli natural sonlarning birdan farqli umumiy bo’luvchiga ega bo’lishi munosabati ekvivalent munosabat emas, chunki bu munosabat uchun refleksivlik va simmetriklik shartlari bajariladi, tranzitivlik sharti esa har doim ham
   

Refleksivlik shаrti:

x R х
- o‘zi-o‘zigа qаrindosh.

Simmetriklik shаrti :

x R y

 y R х

Trаnzitivlik shаrti :

x R y ,

y R z 

x R z .

2. 
   “Yaxshi ko‘rish” munosаbаti ekvivаlent emаs.
   

Refleksivlik shаrti :

x R х

o‘zini-o‘zi yaxshi ko‘rаdi.

Simmetriklik shаrti :

x R y

bo‘lsа,

y R х

bo‘lishi shаrt emаs.

Trаnzitivlik shаrti :

x R y ,

y R z

ekаnligаdаn

x R z

kelib chiqmаydi.

3. 
   Sonlarning tengligi munosabati ekvivalent munosabat, ya’ni bu munosabat uchun refleksivlik shartlari bajariladi.
   

Refleksivlik shаrti : x=x Simmetriklik shаrti: x=y  y=x Trаnzitivlik shаrti: x=y, y=z  x=z

Yilda matematika, an ekvivalentlik munosabati a  ikkilik munosabat anavi   reflektiv, nosimmetrik va o'tish davri. "Teng" munosabati ekvivalentlik munosabatlarining kanonik namunasidir.

Har bir ekvivalentlik munosabati a ni ta'minlaydi bo'lim ajratilgan holda o'rnatilgan ekvivalentlik darslari. Berilgan to'plamning ikkita elementi bir-biriga teng, agar va faqat agar ular bir xil ekvivalentlik sinfiga mansub.

Ta'rif

A ikkilik munosabat ~ to'plamda X ekvivalentlik munosabati deyiladi, agar va faqat agar u refleksli, nosimmetrik va o'tuvchi. Bu hamma uchun a, b va v yilda X:

• a ~ a. (Refleksivlik)

• a ~ b agar va faqat agar b ~ a. (Simmetriya)

• agar a ~ b va b ~ v, keyin a ~ v. (Transitivlik)

Oddiy misol

To'plamga ruxsat bering  ekvivalentlik munosabatiga ega . Quyidagi to'plamlar  ekvivalentlik darslari ushbu munosabat:

Ushbu munosabat uchun barcha ekvivalentlik sinflarining to'plami . Ushbu to'plam a bo'lim to'plamning 

.

Ekvivalentlik munosabatlari

Quyidagi munosabatlar ekvivalentlik munosabatlaridir:

• 
  Raqamlar to'plamida "teng". Masalan,   ga teng  .^[3]
  
• 
  Barcha odamlar suratga olish maydonchasida "tug'ilgan kuni bilan bir xil".
  
• 
  "Yo'q o'xshash to "to'plamida uchburchaklar.
  
• 
  "Yo'q uyg'un to "to'plamida uchburchaklar.
  
• 
  "Bunga mos keladi, modul n" ustida butun sonlar.^[3]
  
• 
  "Xuddi shunday rasm ostida funktsiya"elementlari bo'yicha funktsiya sohasi.
  
• 
  Haqiqiy sonlar to'plamida "bir xil mutlaq qiymatga ega"
  
• 
  Barcha burchaklar to'plamida "bir xil kosinusga ega".
  

Ekvivalent bo'lmagan munosabatlar

• Haqiqiy sonlar orasidagi "≥" munosabati reflektiv va tranzitiv, ammo nosimmetrik emas. Masalan, 7 ≥ 5 5 ≥ degan ma'noni anglatmaydi, ammo bu a umumiy buyurtma.

• Munosabat "a ga ega umumiy omil "bilan" 1 dan katta natural sonlar 1dan kattaroq, refleksiv va nosimmetrikdir, ammo o'tish davri emas. Masalan, 2 va 6 natural sonlarining umumiy koeffitsienti 1dan katta, 6 va 3 ning umumiy koeffitsienti 1dan katta, lekin 2 va 3 ning umumiy koeffitsienti 1 dan katta emas.

• The bo'sh munosabat R (shunday aniqlangan aRb hech qachon to'g'ri emas) bo'yicha a bo'sh emas o'rnatilgan X bu bo'sh nosimmetrik va o'tish davri, ammo refleksiv emas. (Agar X u holda bo'sh ham bo'ladi R bu refleksiv.)

• Haqiqiy sonlar orasidagi "taxminan teng" munosabat, aniqrog'i aniqlangan bo'lsa ham, ekvivalentlik munosabati emas, chunki refleksli va nosimmetrik bo'lsa ham, u o'tishsiz emas, chunki katta o'zgarishlarga erishish uchun bir nechta kichik o'zgarishlar to'planishi mumkin. Ammo, agar yaqinlashish asimptotik tarzda aniqlansa, masalan, ikkita funktsiya deyish orqali f va g ning chegarasi bo'lsa, taxminan bir nuqtaga yaqin f - g bu nuqtada 0 ga teng, keyin bu ekvivalentlik munosabatini belgilaydi.

Boshqa munosabatlar bilan aloqalar

• A qisman buyurtma bu refleksiv munosabatdir, antisimetrikva o'tish davri.

• Tenglik ham ekvivalentlik munosabati, ham qisman tartib. Tenglik, shuningdek, to'plamdagi refleksiv, nosimmetrik va antisimetrik bo'lgan yagona munosabatdir. Yilda algebraik ifodalar, teng o'zgaruvchilar bo'lishi mumkin almashtirilgan ekvivalentlik bilan bog'liq o'zgaruvchilar uchun mavjud bo'lmagan qulaylik. The ekvivalentlik darslari ekvivalentlik munosabati bir-birining o'rnini bosishi mumkin, ammo sinf ichidagi shaxslar emas.

• A qat'iy qisman buyurtma irrefleksiv, o'tuvchi va assimetrik.

• A qisman ekvivalentlik munosabati o'tish va nosimmetrikdir. Bunday munosabat refleksivdir agar va faqat agar bu ketma-ket, ya'ni ∀ bo'lsaa∃b a ~ b.^[4] Shuning uchun ekvivalentlik munosabati muqobil ravishda nosimmetrik, o'tish va ketma-ket munosabatlar sifatida belgilanishi mumkin.

• A uchlik ekvivalentlik munosabati odatiy (ikkilik) ekvivalentlik munosabatlarining uchlik analogidir.

• Refleksiv va nosimmetrik munosabat a qaramlik munosabati (agar cheklangan bo'lsa) va a bag'rikenglik munosabati agar cheksiz bo'lsa.

• A oldindan buyurtma reflektiv va o‘tish xususiyatiga ega.

• A muvofiqlik munosabati ekvivalentlik munosabati bo'lib, uning domeni X uchun asosiy to'plam ham mavjud algebraik tuzilishva bu qo'shimcha tuzilmani hurmat qiladigan narsa. Umuman olganda, muvofiqlik munosabatlari rol o'ynaydi yadrolari homomorfizmlar va konstruktsiya munosabati bilan strukturaning kvitentsiyasi shakllanishi mumkin. Ko'pgina muhim holatlarda muvofiqlik munosabatlari ular aniqlangan tuzilmaning asoslari sifatida muqobil ko'rinishga ega (masalan, guruhlar bo'yicha muvofiqlik munosabatlari oddiy kichik guruhlar).

• Har qanday ekvivalentlik munosabati an ning inkoridir ajratish munosabati, ammo teskari bayonot faqat ushlab turiladi klassik matematika (aksincha konstruktiv matematika), chunki u tengdir chiqarib tashlangan o'rta qonun.

Akslantirishlar va funksiyalar

1-ta’rif. A to'plamdagi 𝑥 elementning B to'plamdagi 𝑦 elementga mos qo'yilishi akslantirish deyiladi. Agar A to'plamning har bir elementi B to'plamning har bir elementiga mos qo'yilsa A to'plam B to'plamga akslantirilgan deyiladi

2-ta’rif. A to'plamdagi har bir 𝑥 elementning B to'plamdagi aniq bir 𝑦 elementga biror qonun yoki qoida asosida mos qo'yilishi funksiya deyiladi va 𝑦 = 𝑓(𝑥) ko'rinishda belgilanadi. Bu yerda 𝑥 − erkli o'zgaruvchi yoki argument, 𝑦 − erksiz o'zgaruvchi yoki funksiya deyiladi. Masalan yo'lning tezlikka bog'liqligi, yoki tezlikning tezlanishga bog'liqligi

3-ta'rif. 𝒚 = 𝒇(𝒙) funksiyada 𝑥 ning qabul qila oladigan qiymatlari funksiyaning aniqlanish sohsi, 𝑦 qabul qiladigan qiymatlari funksiyaning qiymatlari sohasi deyiladi. Aniqlanish soha 𝐷(𝑦), qiymatlar soha 𝐸(𝑦) ko'rinishda belgilanadi

Funksiyaning juft va toqligi

4-ta'rif. Agar istalgan x X  uchun - x X  bo‘lsa, u holda X to‘plam O (koordinatalar boshi) nuqtaga nisbatan simmetrik to‘plam deyiladi. Butun sonlar to‘plami Z , a a, , a a,  , (-,) kabi to‘plamlar koordinata boshiga nisbatan simmetrik to‘plamlardir

5-ta'rif. Agar istalgan x X  uchun f x f x     bo‘lsa, f x X   to‘plamda juft funksiya deyiladi. Juft funksiyalarning grafigi ordinata o‘qiga nisbatan simmetrik bo‘ladi.

6-ta'rif. Agar istalgan x X  uchun f x f x       bo‘lsa, u holda f x X   to‘plamda toq funksiya deyiladi. Toq funksiyaning grafigi koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik bo‘ladi.

7-ta'rif. Yuqoridagi ikkala tenglik ham bajarilmasa, funksiya juft ham, toq ham emas

Davriy funksiya. Teskari funksiya.

Davriy funksiya. Tabiatda va amaliyotda ma'lum bit Tvaqt o'tishi bilan qaytadan takrorlanadigan jarayonlar uchrab turadi. Masalan, har T= 12 soatda soat mili bir marta to'liq aylanadi va oldin biror t vaqt momentida qanday o'rinda turgan bo'lsa, keying! t+ T, t+2T, umuman, vaqt momentlarida yana shu o'ringa qaytadi. Quyosh bilan Yer orasidagi masofa T=1 yil davomida o'zgaradi, ikkinchi yilda o'zgarish shu ko'rinishda takrorlanadi.

Umuman, shunday T soni mavjud bo'lsaki, y =f(x) funksiyaning D(ƒ) aniqlanish sohasidan olingan har qanday x uchun x + T, x - T sonlari ham D(ƒ) ga tegishli bo'lsa va ƒ(x) =f(x+T) =f(x-T) tengliklar bajarilsa, ƒ funk-siya dawiy ƒunksiya, T son shu funksiyaning davri, eng kichik musbat davr esa funksiyaning asosiy davri deyiladi.

1-teorema. Agar T soni funksiyaning davri bo'lsa, -T ham uning davri bo'ladi. Agar T, va T2 lar f funksiyaning davrlari bo'lsa, Tt+ T2 ham shu funksiyaning davri bo'ladi.

I s b o t. -T soni ƒ funksiyaning davri ekani ta'rif bo'yicha f(x) =f(x- T) =ƒ(x+ T) tenglikning bajarilayotganligidan kelib chiqadi. T, + T2 ning davr ekani shu kabi isbotlanadi: f(t+ (T, + T2)) =f(t + TI + T2) =f(t + r,) =ƒ(t), f(t - (Tl+T2))=f(t-Tt -T2) =f(t-T{) =f(t). N at ij a. Agar T son ƒ funksiyaning davri bo'lsa, kT son ham uning davri bo'ladi, bunda k — butun son.

I s b o t. Matematik induksiya metodidan foydalana-miz. k= 1 da teorema to'g'ri: kT= T, Tesa shart bo'yicha davr. Agar k T funksiyaning davri bo'lsa, 1-teoremaga asosan, kT+ T= (k+ l)Tham davr. U holda induksiya bo'yicha barcha k butun sonlarda kT lar funksiyaning davri bo'ladi

2-teorema. Agar T soni ffunksiyaning asosiy davri bo'lsa, funksiyaning qolgan barcha davrlari Tga bo'linadi.

I s b o t. Isbotni musbat davrlar uchun ko'rsatish yetarli. T soni funksiyaning asosiy davri, T, esa uning ixtiyoriy musbat davri bo'lsin. T1 ning T ga bo'linishini ko'rsatamiz. Aksincha, T1 soni T ga bo'linmaydi, deb faraz qilaylik. U holda r, = kT+ m ga ega bo'lamiz, bunda Lekin T va 7, sonlari davr bo'lgani uchun m=T1-kT soni ham davr bo'ladi (1- teoremaga muvofiq). 0 < m < T ekani va m soni davr bo'lganidan T soni asosiy davr bo'la olmaydi. Zidlik hosil bo'ldi. Demak, faraz noto'g'ri. Bundan ko'rinadiki T1 son T ga bo'linadi. Shu bilan teorema isbot bo'ldi.

Yilda matematika, in'ektsiyalar, tasavvurlar va bijections sinflari funktsiyalari uslubi bilan ajralib turadi dalillar (kiritish iboralar dan domen) va tasvirlar (dan ifodalarni chiqarish kodomain) bog'liq yoki xaritaga tushirilgan bir-biri.

Funktsiya xaritalar uning domenidagi elementlardan uning kodomainidagi elementlarga. Funktsiya berilgan 

• 
  Funktsiya in'ektsion, yoki bittadan, agar kodomainning har bir elementi xaritada joylashgan bo'lsa ko'pi bilan domenning bitta elementi yoki ekvivalent ravishda, agar domen xaritasining alohida elementlari kodomainning alohida elementlariga. In'ektsion funktsiya ham deyiladi in'ektsiya.^[1][2] Notatsion jihatdan: