y=tgx va y=ctgx funksiyalarning hosilalari.
U shbu funksiyalarning hosilalarini topish uchun bo‘linmaning hosilasini topish qoidasidan foydalanamiz:
.
Xuddi shunga o‘xshash formulani ham keltirib chiqarish mumkin. 11-chizma
Trigonometrik funksiyalarning argumentlari x erkli o‘zgaruvchining u(x) funksiyasi bo‘lsa, u holda murakkab funksiyaning hosilasini topish qoidasiga ko‘ra quyidagi formulalar o‘rinli bo‘ladi:
(sinu)’=u’cosu, (cosu)’=-u’sinu, .
Misol. y=sinx funksiya grafigi koordinatalar boshida Ox o‘qi bilan qanday burchak tashkil etadi?
Yechish. Buning uchun y=sinx funksiya grafigiga abssissasi x=0 bo‘lgan nuqtada o‘tkazilgan urinmaning burchak koeffitsientini topamiz: y’=cosx, demak f’(0)=cos0=1, burchak koeffitsienti tg=1, bundan izlanayotgan burchak /4 ga teng.
Misol. y=tgx funksiya grafigi koordinatalar boshida Ox o‘qi bilan qanday burchak tashkil etadi?
Yechish. Buning uchun y=tgx funksiya grafigiga abssissasi x=0 bo‘lgan nuqtada o‘tkazilgan urinmaning burchak koeffitsientini topamiz: y’=(tgx)’=sec2x, demak f’(0)=sec20=1, burchak koeffitsienti tg=1, bundan izlanayotgan burchak /4 ga teng.
Bu misollarda olingan natijalarni y=sinx va y=tgx funksiya grafiklarni chizishda e’tiborga olish kerak. Rasmlarda y=sinx va y=tgx funksiya grafiklari keltirilgan. Bu funksiya grafiklari koordinatalar boshida y=x to‘g‘ri chiziqqa urinadi.
Hosilaga ega bo‘lgan funksiyaning uzluksizligi (Mustaqil ta’lim uchun)
f(x) funksiyaning hosilasi faqat bu funksiya uzluksiz bo‘lgan nuqtalardagina mavjud bo‘lishi mumkinligini ko‘rsatamiz. Oldin ushbu teoremani qaraylik.
Teorema. Agar f(x) funksiya x nuqtada hosilaga ega bo‘lsa, u holda funksiya shu nuqtada uzluksiz bo‘ladi.
Isbot. Faraz qilaylik, f(x) funksiya x nuqtada hosilaga ega bo‘lsin. Demak, ushbu limit mavjud va f’(x) ga teng. Bizga agar funksiya chekli limitga ega bo‘lsa, uni limit va cheksiz kichik yig‘indisi ko‘rinishda ifodalash mumkinligi ma’lum ( ). Bizning holimizda limitga ega bo‘lgan funksiya deb funksiya orttirmasining argument orttirmasiga nisbatini olamiz. U holda ushbu tenglik o‘rinli bo‘ladi:
=f’(x)+,
bu erda =(x) va =0. Bundan funksiya orttirmasi y=f(x+x)-f(x) ni quyidagi ko‘rinishda yozish mumkinligi kelib chiqadi:
y=f’(x)x+x (1)
Bu tenglikdan, agar x0 bo‘lsa, u holda y0 bo‘lishi kelib chiqadi. Bu esa f(x) funksiyaning x nuqtada uzluksizligini bildiradi. Teorema isbot bo‘ldi.
Bu teoremaning teskarisi o‘rinli emas, ya’ni funksiyaning nuqtada uzluksizligidan uning shu nuqtada hosilasi mavjudligi kelib chiqavermaydi. Masalan, y=|x| funksiya x ning barcha qiymatlarida, xususan x=0 nuqtada uzluksiz, ammo x=0 nuqtada hosilaga ega emas. Bu funksiyaning x=0 nuqtadagi orttirmasi y=|x| bo‘lib, undan va nisbatning x0 dagi limiti mavjud emasligi kelib chiqadi, demak f(x)=|x| funksiya x=0 nuqtada hosilaga ega emas.
Do'stlaringiz bilan baham: |