|
4.2. Chiziqlantirish
Tenglamalarni tuzishda, bordiyu, sozlash va boshqarish jarayonining dinamikasiga ta'sir etuvchi barcha faktorlarni hisobga olinadigan bo‘lsa, u holda (2.1) tenglama juda murakkab ko‘rinishga ega bo‘lib, aksariyat holatlarda egri chiziqli bo‘ladi. Shu sababli masalani analitik usulda yechish uchun1 ba'zan, umumiy holda, egri chiziqli tenglamalarni chiziqli tenglamalar bilan almashtirishga tug‘ri keladi. Bunday almashtirish operatsiyasi chiziqlantirish deb ataladi.
Chiziqlantirishnint asosida I.A.Vishnegradskiy tomonidan ilgari surilgan quyidagi g‘oya yotadi: sozlashning barcha borliq o‘zgaruvchilarning muvozanat holatlardai birozgina o‘zgargan qiymatlari o‘rin tutadi.
Bu kichik og‘ishlar usulining ayni o‘zidir. Boshqarish jarayonida egri chiziqli tenglamalarga o‘zgaruvchilarning absolyut qiymatlarini emas, balki ularning og‘ish (o‘zgarish) qiymatlari kiritilsa, orttirmalar shakliga keltirilgan chiziqli tenglamalarga ega bo‘lish mumkin.
Tenglamalarni chiziqlantirish va ularni orttirmalar shaklida yozish dastlabki nol boshlang‘ich shartlarni olish imkoniyatini beradi.
Tenglamalarni o‘zgargan, ya'ni og‘gan holatlar uchun olish dastavval tizimning muvozanat holati uchun umumlashgan koordinatalar o‘rtasidagi bog‘liqlikni topishni taqozo etadi. Keyin esa muvozanat holati buzilgan deb olinnb, o‘tish rejimining differensiat tenglamasi yoziladi. Differensial tenglamalar yozilib bo‘lgach, belgilangan koordinatalar muvozanat holat qiymati bilan o‘zgaruvchi orttirmasi yig‘indisiga al-mashtiriladi:
x = X0+ x (4.12)
bu yerda - o‘zgaruvchi kattalik; X0 - uning dastlabki qiymati; Dx - orttirmasi.
So‘ngra harakat tenglamasidan statika tenglamasini ayrib tashlab, o‘tish rejimi tenglamasini orttirmali holida olish imkoniyatiga ega bo‘linadi.
Umumiy hollarda tenglamalarni oxirgi orttirmali ko‘rinishga kel-tirish uchun analitik funksiyani Teylor qatoriga yoyishda qo‘llaniladigan formuladan foydalaniladi hamda harakat muozanat holatiga nisbatan juda kichik qiymatlarga farq qilingan oraliqlarda deb qabul qilib olinib, hosila noldan farqli bo‘lgan yagona oxirgi qiymatga ega deb sanaladn. Agar bunday qilinmasa, ya'ngi aksiicha bo‘lsa, tenglamani chiziqlantirib bo‘lmaydi. Analitik (funksiyani orttirmalar yig‘idisinn o‘z ichiga olgan qator ko‘rinishida qabul qilib olish Lagranjning oxirgi ortirmalar teoremalaridan va Teylorning Lagranj teoremasini umumlashtiruvchi teoremalaridan foydalanishga asoslangandir.
F (x)=Z ko‘rinishidagi a ≤ x ≤ a+ x yopiq interval oralig‘ida n ta uzluksiz hosilaga ega bo‘lgan uzluksiz funksiya uchun Teylarning darajalar qatori formulasi quyidagicha ko‘rinishga ega bo‘ladi
(4.13)
Xususiy holda, agar a=0 bo‘lsa Maklerov qatorini olamiz.
Agar funksiya ikkita o‘zgaruvchi X, Y ga bog‘lik bo‘lsa, ya'ni Z,=f(X,U), u holda x va u o‘zgaruvchilarning berilgan orttirmalarida va Z,=f(a,b) funksiyaning dastlabki boshlang‘ich qiymatlarida Teylorning quyidagi darajaviy katori tenglamasini yozish mumknn:
(4.14)
bu yerda Rn - qandaydir 1 va 2 qiymatlar bilan belgilangan yuqori xususiy hosilalar qiymatlaridagi qoldiq.
Avtomatik tizimlarning anatatik funksiyalarini Teylor qatoriga yoyishda ikkinchi va undan yuqorn darajadagi qo‘shiluvchilar xisobiga olinmaydilar. So‘ngra funksiyaning qiymati muvozanat holati uchui ayirib tashlanadi.
Funksiya bir o‘zgaruvchiga bog‘liq bo‘lgan hollar uchun esa (4.14) o‘rniga quyidagiga ega bo‘lamiz:
(4.15)
bu yerda kirishdagi o‘zgaruvchi bo‘yicha berilgan umumlashgan koordinatalar funksiyasining hosilasi bo‘lib, X0 - kattalik bilan aniq-lanuvchi, berilgan A nuktaga urinma shaklida o‘tkazilgan statik tavsifi-ning og‘ish burchagi tangensi bilan aniqlanadi (4.1 — a - rasmga qarang).
4.1.-rasm
Funksiya ikkita x va u o‘zgaruvchilarga og‘liq bo‘lgan hol uchun
(4.16)
ni yozinshmnz mumkin.
Bu yerda -X0 va Yo o‘zgaruvchilarning muvozanat qiymatlaridagi berilgan umulashgan koordinatalarning xususiy hosilasi funksiyasi qiymatlari bo‘lib, x, u o‘zgaruvchilarga bog‘liqligini ko‘rsatuvchi egri chiziqlarga o‘tkazilgai o‘rinmalar burchaklari tangenslari orqali aniqlanadi. (4.1 rasmning a va. b - chizmalariga qarang).
(4.15) va (4.16) formulalar tenglamalarni orttirmali ko‘rinishini ifodalaydi; ularni chiziqli va egri chiziqli analitik funksiyalarga qo‘llash mumkin.
Egri chiziqli funksiyalarni kichik og‘ishlar usuli bilan chiziq-lantirish, grafik usulda egri chiziqni kerakli A nuqtaga o‘tkazilgan urinma chiziqning kichik bo‘lagi bilan almashtirish orqali bajariladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
