2.2. Model, modellashtirish, algoritm va sonli eksperiment haqida «Model» va «modellashtirish» terminlarini juda ko‘p ishlatamiz. Odatdagi suhbatda bu so‘zlarning qo‘llanilishi va tushinilishi juda yengildek tuyuladi, ammo bularning texnik qo‘llanilishi noaniqliklarga ega. Har xil sohadagi ilmiy izlanuvchilar va ilmiy jamoalar uchun bu so‘zlar har xil ma’noni anglatadi.
Modellashtirish deganda biz odatdagi «sonli eksperiment» tushunchasiga nisbatan juda keng ma’noni tushunamiz. Sonli eksperimentlarda tizimning dinamik holatini imitatsiya qilishga uriniladi va kutiladigan hodisalar hisoblab chiqiladi yoki oldindan aytib beriladi.
«Modellashtirish» keng ma’noda va ko‘proq statik ma’noda qo‘llaniladi: model dinamik jarayonning evolyutsiyalarini aniqlamasdan butubligicha tavsiflab berishi mumkin. Model - bu formula, miqdor nisbatlari, jamlangan empirik ma’lumotlar, tenglamalar yoki hatto uning ekvivalent analog sxemasi ham bo‘lishi mumkin.
Modellashtirishning maqsadi tizimning aniq nusxasini tuzishdan iborat emas. Model esa tizimning ba’zi muhim xossalarini qaytaradi, chunki modelni ishlab chiqishda taqribiylikka yo‘l qo‘yiladi. Bu esa tizimni to‘la tasvirlamaydi. Shuning uchun model ba’zi rejimlarda haqqoniy emas va uni miqdor jihatidan ham hamma holatlarda aniq deb bo‘lmaydi. Sonli eksperimentlar fizik va mexanik parametrlar, boshlang‘ich shartlarni aniq tanlab olish uchun ishlatiladi. Ba’zi adabiyotlarda «modellashtirish» va «sonli eksperiment» tushunchalari ekvivalent ishlatiladi, hatto ba’zida bir birini almashtirib tushiniladi.
«Sonli» va «hisoblash» terminlari deyarli o‘zaro sinonim so‘zlar bo‘lsada, ular bir necha farqli qiymatlarga ega. Sonli tahlil - bu, asosan nazariy fan, uning bosh amaliy tadbiqi masalani komp’yuterda yechishdan iborat bo‘lsada, u to‘laligicha hisoblash degani emas. Hisoblash ishi esa sonli eksperimentda to‘laligicha sonli emas. Masalan, suyuqlik va gazlarda oqish jarayoning hisobi dasturlashning interaktiv tizimini, matnlarni qayta ishlashni, berilgan ma’lumotlarni qayta tashkil qilishni, grafika va hokazolarni o‘z ichiga oladi. Biz proseduralar, usullar va algoritmlarni sonli deymiz, agar ular sonlarni hisoblash yoki formula va tenglamalarning miqdoriy hisobiga aloqador bo‘lsa.
Algoritm - bu model emas, u albatta sonli ham bo‘lishi shart emas. Algoritm - bu modelni amalgam oshirishga qo‘llaniladigan yechish prosedurasidir. Har qanday model ham u bilan bog‘langan algoritmga ega bo‘lavermaydi. Ba’zida modelni tadbiq qilish uchun algoritm ham mavjud emas.
Shunday qilib, fizik modelning uch turi mavjud: fundamental, fenomenologik va empirik. Fundamental model mumkin bo‘lgan asosiy fizik cheklanishlardan boshlab sistemaning xossasi va holatini ifodalaydi. Bunday modellar juda kam, ammo ular hodisaga o‘xshash va uni yetarlicha aniq tavsivlaydi. Ular asosan keyingi hisoblarda foydalaniladigan o‘zgarmaslar va boshqa axborotlarni olishda ishlatiladi. Fundamental modellar hisoblash modellarining qo‘llanilish diapazonini kengaytiradi. Fenomenologik model kichik masshtabli jarayonlarni makroskopik modelga ko‘chirishda qo‘llaniladi. Odatda modellashtirilayotgan hodisaning sodda nazariyasidan boshlab fenomenologik model quriladi, bundagi nazariya sodda bo‘lib qo‘pol yaqinlashishlarni o‘z ichiga oladi. Shuning uchu fenomenologik modelni tuzishda umumiy qoida va shartlardan foydalaniladi. Empirik model matematik formulalarga mavjud ma’lumotlarni mos keltirish yoki shu ma’lumotlarni to‘g‘ridan to‘g‘ri jadval ko‘rinishida foydalanishdan quriladi. Odatda bunday ma’lumotlar eksperimentlardan olinadi. Shunday qilib, jarayonlarning modelini tuzish shartli usul. Masalan, konveksiya jarayoni aniq tenglamalar bilan ifodalanadi va u sonli usullar bilan yetarlicha aniqlikda yechiladi. Demak, bir o‘lchovli konvektiv ko‘chirishni fundamental model deb qarash mumkin. Ximik jarayonlardagi tezliklar koeffitsiyentlarining fundamental hisoblar yordamidagi aniq analitik ifodasi qurilgan bo‘lsa, ximik jarayon tenglamasi fenomenologik modelga mos keladi. Ko‘p hollarda holat tenglamasi eksperimentlar ma’lumotlariga asoslanib quriladi. Bunday tenglamalar esa empirik modelga mosdir. Bulardan tashqari juda ko‘plab xususiy modellar ham mavjud, chunki o‘rganilayotgan sistemada bir necha jarayonlar bir vaqtning o‘zida kechishi mumkin. Demak ular fundamental, fenomenologik yoki empirik model bo‘lishi mumkin. Bu modellarning yana bir xususiyati shundaki, bular yordamida asl jarayonni ifodalovchi parametrlarni ma’lum miqdorda kamaytirish yo‘li bilan sistemaning erkinlik darajasi kamaytiriladi. Bu o‘z navbatida mikroskopik jarayonlarni makroskopik darajaga olib chiqishga va soddaroq qonunlardan foydalanishga imkon beradi.
Sonli modellastirish- bu nazariya emas, hatto u yagona nazariy yechim ham emas. Uning analitik nazariyadan farqi shundaki, u masalaning parametrlarini va fizik o‘zgaruvchilarni o‘zaro bog‘lovchi tenglamalarni bermaydi. Aksincha, har q anday sonli modellashtirish ma’lum geometrik, fizik, boshlang‘ich va chegaraviy shartlar bilan bajariluvchi sonli eksperimentlardir. Agar model yetarlicha aniqlikka ega va murakkab bo‘lsa, u holda sonli modellastirish ham ba’zi kutilmagan hodisalarni, xuddi laboratoriya eksperimenti kabi, ochib berishi mumkin. Sonli modellashtirishning yana bir xususiyati shundaki, biror yangilikni ochish uchun ba’zida chuqur nazariy bilim ham talab qilinmasligi mumkin. Masalan, ko‘plab fundamental bog‘lanishlarni ma’lum bir ideallashtirish va soddalashtirilgan masalalarga keltirish yo‘li bilan aniqlash mumkin. Sonli modellashtirish nazariya va eksperimentni o‘zaro yaqinlashtiradi.
Sonli eksperiment matematik modelni tashkil qiluvchi tenglamani to‘g‘ridan to‘g‘ri yechmaydi. Biz diskret algebraik tenglamalar sistemasini yechamiz (hisoblash modeli), yani biz vaqt bo‘yicha hisoblash eksperimentini o‘tkazamiz. Bu chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi dastlabki xususiy hosilali differensial tenglamalami diskretlashtirishdan kelib chiqadi. Hozirgi kunda sonli eksperimentlar katta kompyuterlar bilan jihozlangan maxsus laboratoriyalarda o‘kaziladigan «maxfiy san’at» emas. Hozirgi zamon axborot texnologiyalari asosida har bir olim va muhandis bu soha ma’lumotlari va mazmunidan xabardor bo‘lish imkoniyatiga ega. Sonli eksperimentni ishlab chiqish va qo‘llashning uchta asosiy bosqichi mavjud: 1) matematik va hisoblash modellarini aniqlashtirish; modellashtirish masalasini tanlash va uni qo‘yish; hisoblash ifodalarini tanlash; 2) sonli eksperiment modelini qurish; masalani yechish algoritmini tanlash; model algoritmini optimallashtirish; modelni EHMda yechish va test o‘tkazish; 3) sonli eksperiment modelini qo‘llash; aniqlashtirilgan hisoblar o‘tkazish; natijalar thlili va interpretatsiyasi; vaqtdan samari foydalanilgan holda yakuniy jarayonni oprimallashtirish
2.3. Chekli ayirmalar usuli haqida boshlang‘ich tushunchalar.
Ayirmali sxemalarning asosiy xossalari Mazkur uslubiy qo‘llanmada asosan chekli ayirmalar usuliga e’tibor qaratilgan. Shuning uchun quyida shu usul haqida boshlang‘ich tushunchalar hisoblash matematikasi fanidan tanish deb faraz qilgan holda quyidagilarni bayon qilamiz.
Odatda hisoblash mashinalarining xotirasi cheklangan, ular qo‘zg‘aluvchan vergulli sonlar bilan ifodalanuvchi ma’lumotli alohida so‘z-yacheykalardan iborat. Bu esa uzluksiz gidrodinamik o‘zgaruvchilarni diskret haqiqiy qiymatlar bilan ifodalashni talab qiladi. O‘rganilayotgan soha hisob yacheykalariga (suyuq elementlarga yoki zonalarga) bo‘linadi. Ularni yasheykalar deb ataymiz. Bu yacheykalar hisob to ‘ri yoki bo ‘linish chegaralari yacheykalari deb ataluvchi ba’zi hajmlarni ifodalaydi. Bu yacheykalarda o‘zgaruvchilarning diskret qiymatlari ma’lum bir vaqt momentlarida hisoblanadi. Ularning kompyuterda ifodalanishi diskret sonlarga asoslangan, demakki sonli yechishda vaqtdan bog‘liqlik ham diskret intervallarga ko‘chiriladi. Bu intervallar vaqt bo‘yicha qadam deb ataladi, u sonli yechim kechayotgan vaqt orttirmasini qulay holda ifodalashga imkon beradi.
Ayirmali sxemalarning asosiy xossalari Ayirmali sxemalarning o‘ziga xos xossalari mavjud, bular: ayirmali approksi- matsiyaning mosligi, ustivorligi, yaqinlashuvchanligi, aniqligi, samaradorligi, sababiyligi, qaytariluvchanligi, musbatligi, konservativligi, transportivligi.
