Tabiiy fanlar va muhandislik hisoblarining ko‘plab tadqiqotlarida differensial tenglamalarning berilgan chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimlarini topish talab etiladi

1.2. Rits metodi bilan eng sodda chegaraviy masalani yechish

Faraz qilaylik, bizga o’z-o’ziga qo’shma differensial tenglama

(1.7)

va eng sodda chegaraviy shartlar

(1.8)

berilgan bo’lsin, bunda , , , funksiyalar da uzluksiz bo’lib, , . (1.7), (1.8) chegaraviy masala (1.8) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradigan funksiyalar to’plamida quyidagi

(1.9)

funksional uchun variatsion masalaga teng kuchlidir.

Rits metodini qo’llash uchun shunday

chiziqdi erkli funksiyalar sistemasi (bazis funksiyalar)ni olamizki, , bo’lib, qolganlari bir jinsli chegaraviy shartlarni qanoatlantirsin: .

Variatsion masalaning yechimini quyidagi chiziqli kombinatsiya

(1.10)

shaklida izlaymiz, bunda — o’zgarmas sonlar. Ko’rinib turibdiki, chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi:

.

Endi (5.4) ni (5.3) funksionalga qo’yamiz:

(1.11)

Bu ifodadan ga nisbatan xususiy hosila olib, quyidagi sistemani hosil qidamiz:

yoki

yoxud

bu yerda

, (1.12)

(1.13)

.

Ko’rinib turibdiki,

(1.14)

matritsa simmetrik matritsadir. Endi (1.11) sistemani yechib, ga minimum beradigan funksiyani (1.10) ko’rinishda yozamiz. Shuni ta’kidlash kerakki, yechimning aniqligi ko’pincha bazis funksiyaning tanlanishiga bog’liq,.