Tabiiy fanlar va muhandislik hisoblarining ko‘plab tadqiqotlarida differensial tenglamalarning berilgan chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimlarini topish talab etiladi

2.2. Galyorkin metodi yordamida xos son va xos funksiyalarni topish

Quyidagi

(2.6)

differensial tenglama uchun eng sodda

(2.7)

bir jinsli chegaraviy shartlarda xos sonlar va xos funksiyalarni topish masalasini ko’rib chiqamiz.

Bu masalaning yechimini topish uchun oraliqda to’liq, ikki marta differensiallanuvchi va (2.7) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradigan bazis funksiyalarni tanlab, xos funksiyaning taqribiy yechimini quyidagi

(2.8)

ko’rinishda izlaymiz, bu yerda — nomaʼlum o’zgarmaslar. Keyin bu funksiyadan (2.6) tenglikning to’la qanoatlantirilishini talab qilmasdan, bu tenglikning chap tomoni bazis funksiyalarga ortogonal bo’lishini talab qilamiz. Bu bizni quyidagi tenglamalar sistemasiga olib keladi:

(2.9)

Oxirgi sistemani quyidagicha yozish mumkin :

(2.10)

bu yerda

, . (2.11)

Hosil qilganimiz ta nomaʼlumli ta bir jinsli tenglamalar sistemasidir. Bu sistema noldan farqli yechimga ega bo’lishi uchun uning determinanti nolga teng bo’lishi kerak:

(2.12)

Bu tenglama ga nisbatan -tartibli tenglama bo’lib, ta ildizlarga ega. Har bir uchun (2.10) tenglamalar sistemasi noldan farqli yechimga ega bo’lib, ga mos keladigan xos funksiyani quyidagicha yozishimiz mumkin:

Maʼlumki, bu funksiyalar o’zgarmas son ko’paytuvchi aniqligida topiladi.

Biz bilamizki, (2.6) tenglamaning xos sonlarini topish uchun ning shunday qiymatlarini topish kerakki, (2.6), (2.8) chegaraviy masalaning noldan farqli yechimi mavjud bo’lsin. (2.10) sistema (2.6) tenglamaga yaqinlashish sifatida hosil bo’lganligi tufayli topilgan qiymatlar mos ravishda (2.6) tenglama xos qiymatlarining yaqinlashishi bo’lib, funksiyalar mos ravishdagi xos funksiyalarning yaqinlashishi bo’ladi.
Misol. Ushbu

chegaraviy masalaning juft xos funksiyalariga mos keladigan avvalgi ikkita xos sonlari topilsin.

Osonlik bilan ko’rish mumkinki, bu masalaning aniq yechimi quyidagilardan iborat:

, , , .