Tabiiy fanlar va muhandislik hisoblarining ko‘plab tadqiqotlarida differensal tenglamalarning berilgan chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimlarini topish talab etiladi

II. BOB

Oddiy differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalar

II.1-§ Chegaraviy masalalarning qo’yilishi

Bizga ma’lumki birinchi va yuqori tartibli odddiy differensial tenglamalar uchun Koshi masalasi o’rganilgan.
Ushbu
, (2.1)
(2.2)
chegaraviy masala berilgan bo’lsin.
Bu masalani yechish uchun (2.1) tenglamani umumiy yechimini topib, unda qatnashgan o’zgarmas sonlarni (2.2) shartni qanoatlantiradiga qilib tanlash lozim. Ba’zan chegaraviy masalani umumiy yechimini topish mumkin emas. Bunday hollarda Grin funksiyasidan foydalanish zarur.
2.1-ta'rif. (2.1), (2.2) masalani Grin funksiyasi deb integralda qatnashgan va funksiyaning lar uchun quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi funksiyaga aytiladi.

1. 
   da funksiya
   

(2.3)
tenglamani qanoatlantiradi;

2. 
   va da funksiya (2.2) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi;
   
3. 
   da funksiya uzluksiz
   

; (2.4)

4. 
   da ( bo'yicha hosila) sakrashga ega, ya’ni
   

. (2.5)
Masalani Grin funksiyasini topish uchun uni
(2.6)
ko’rinishda qidiramiz. Bunda (2.3) tenglamani va (2.2) shartni birinchisini, esa (2.2) shartni ikkinchisini qanoatlantiruvchi xususiy yechimlar.
va funksiyalar (2.4) va (2.5) ifodalar yordamida topiladi. Agar masalani Grin funkisyasi mavjud bo’lsa, uning umumiy yechimi
(2.7)
formula bilan ifodalanadi.
2.1-misol. Chegaraviy masalani yeching.
(2.8)
Yechish. Bu holda (2.1), (2.2) masaladagi parametrlar bo’lib, ko’rinishida bo’lib, (1.8) tenglam o’zgarmas koefiysentli ikkinchi tartibli tenglamadir. Uni yechib umumiy yechimni hosil qilamiz. Buni (2.3) shartga qo’yib,
(2.9)
sistemani olamiz. Uni yechimi ekanligidan, berilgan masalani yechimi funksiya bo’ladi.