Tabiiy fanlar va muhandislik hisoblarining ko‘plab tadqiqotlarida differensal tenglamalarning berilgan chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimlarini topish talab etiladi

II.4-§ Bir jinsli bo’lmagan chegaraviy masalalar

(2.16) formulada bo’lsin. Biz bir jinsli bo’lmagan chegaraviy masalani ko’raylik. Bu holda asosiy hulosani quyidagi teorema ifoda etadi.
2.3-teorema. Ushbu tenglama bir jinsli bo’lmagan shartni qanoatlantiradigan yagona yechimga ega bo’lishi zarur va yetarli.
Isbot. Zarurligi. Bir jinsli bo’lmagan chegaraviy masalaning yechimi funksiya bo’lsin, Unda , ayniyatlar o’rinli bo’ladi. Bir jinsli differensial tenglamaning fundamental sistemasi funksiyalardan iborat bo’lsin. U holda ixtiyoriy formula bilan yoziladi. O’zgarmas larning biror qiymatida yechim hosil bo’lsin deylik, ya’ni . Bu funksiyani bir jinsli bo’lmagan chegaraviy shartga qo’yamiz:
=
= =
=
Demak, ushbu
(2.22)
sistemaga egamiz. Bu sistemaning determinant , chunki . Ammo bo’lganda bir jinsli chegaraviy masala 2.1-teoremaga ko’ra faqat trivial yechimga ega bo’ladi.
Yetarliligi. Bir jinsli chegaraviy masala faqat trivial yechimga ega bo’lsin. U holda bo’ladi. Demak, (2.22) ga ko’ra bir jinsli bo’lmagan chegaraviy masala yagona trivalmas yechimga ega, chunki (2.22) dan tenglikni qanoatlantiradigan o’zgarmaslar bir qiymatli topiladi. Teorema to’la isbotlandi.
1-natija. Agar bir jinsli bo’lmagan chegaraviy masala ikkita va , yechimga ega bo’lsa u holda funksiya mos bir jinsli chegaraviy masalaning trivalmas yechimi bo’ladi; aksincha, agar bir jinsli chegaraviy masala trivalmas yechimlarga ega bo’lsa, u holda bir jinsli bo’lmagan chegaraviy masala yoki bironta ham yechimga ega bo’lmaydi yoki cheksiz yechimlarga ega bo’ladi.
Isbot. Avval natijaning birinchi qismini isbotlaymiz.
Ravshanki, va demak

yana shunga o’xshash munosabatlardan kelib chiqadi. Shuning uchun funksiya bir jinsli chegaraviy masala uchun trivalmas yechim bo’ladi.
Endi, agar bir jinsli chegaraviy masala trivalmas yechimga ega bo’lsa , bo’ladi. U holda (2.22) Sistema yo yechimga ega bo’lmaydi yoki cheksiz ko’p yechimga ega bo’ladi. Hatija isbot etildi.
Endi chiziqli bir jinsli bo’lmagan differensial tenglamani qaraylik, ya’ni
. (2.23)
Bir jinsli bo’lmagan chegaraviy masalani ko’raylik. Bu masalaning yechimi xaqida fikr yuritishdan oldin shartni qanoatlantiradigan ixtiyoriy funksiyani olamiz. So’ngra almashtirish bajaramiz. Bu funksiya uchun

ya’ni
(2.24)
bir jinsli chegaraviy shartga ega bo’lamiz. Berilgan differensial tenglama ( ga nisbatan)

yoki
(2.25)
ko’rinishga keladi. Endi (2.23), (2.22) bir jinsli chegaraviy masalani ko’rishimiz mumkin. 2.3-teoremaga ko’ra, agar , masala faqat trival yechimga ega bo’lsa, u holda oraliqda uzluksiz bo’lga ixtiyoriy funksiya uchun (2.23), (2.22) masalaning yechimi mavjud va
(2.26)
ko’rinishida yoziladi. Agar funksiya mos bir jinsli tenglamaning yechimi bo’lsa, u holda bo’ladi va (2.24) formula ko’rinishida yozilishi mumkin.
Shunday qilib quyidagi teorema isbot etildi.
2.4-teorema. Bizga (2,23) bir jinsli bo’lmagan chegaraviy masala berilgan bo’lsin, oraliqda uzluksiz bo’lgan bir jinsli bo’lmagan chegaraviy shartni qanoatlantiradigan ixtiyoriy funksiyani deylik. U holda , agar masala faqat trival yechimga bo’lsa, u holda (2.23) masla yechimga ega va bu yechim ushbu
(2.27)
ko’rinishida yoziladi.