T u r g u n b a y e V r I s k e L d I m u s a m a t o V ic h matematik analiz

a
 nuqtaning atrofidan  olingan, 
a
  dan 
farqli barcha
x
 nuqtalarda 
f(x
) > 
b
 tengsizlik o‘rinli va lim /(x ) mavjud bo‘lsa, u
x - * a
holda lim /(x )  > 
b
 boMadi. (Bu tasdiq tengsizlikda limitga o’tish haqidagi teorema
x-+a
deb ataladi ).
S a r+ l
Limitlami toping (85-106):
3-85.  lim (5x
2
 + 2x — 1) 
3-86.  lim ■
x->—2 
J
 
*-цх3-2х+3
3-87.  lim 
3-88. lim 
^
x -* 0  
x 2 - x  
x-+3  2 x +8
i * 
x 2- 6 x + 5  
4 х 3 - З х г + х
3-89.  lim—
-
--- 
3-90. lim -----
x - » 5
 
x 2 - 2 S  
x —*0 
2 x
-   Л ,  
1
. 
X 3 + x + 2
 
л л  
2 x 2- x —t
3-91.  hm  —-—  
3-92.  lim  —
7
——
X->_1  x 
+1
 
x^~~6x  +5x+/}
2
.  
. .  
x 3 - x 2 + 3 x - 3
 
_  _  . 
x
2 + 7
x
+ 6
3-93.  lim . 
■■---  
3-94.  lim
x - * l 2 x 3 - 2 x 2 + x - l
 
' 
6 x 3 + 6 x 2 + 3 ;t+ 1 8
84

---

3-95.  lim
3-97.  lim
3-99.  lim
JC
-+0
v'x+25-5 
x-+0 
x2+2x
У2Х+3-3 
x->3  Vx-2-1
Ve—
x—2
3-96.  lim
x 2-2x
3-98.  lim
JC->2 Vat2+ 6*-4 
sfY—
x—i
3-101.  lim
X
х+5хг- х 3 
X~*oo  2
x
3 -
x
2 + 7
x
x 3+x
3-100.  lim
x-*l
  V
S —x —2 
X 2 — 16
3-102.  lim
ДГ-+4 V s = j? - 3V 5=3 
1 - 3 * 2
X —*oo X 2 +  7 x ~ 2
3-103.  lim  .
X~*oo X * - 3 X 2 +1
3-105.  lim 
(Vx
2 + 4 - x)
ДГ—*+oo 
y
3-104.  lim
x s-2x
x-юо2x3+x2+l
3-106.  lim  ( 4 — - x )
X
-+00
 \ x 2 —3
 
/
3-107.  Ushbu tasdiqni  isbotlang.  agar  lim 
fk(x),k
  = 
l,n
  mavjud bo'lsa,  u
holda
a) Hm(/j(x) + ••• + /„(*))  =  Jim 
fx(x) +
 •■•+ lim /„(*);
дг-*а 
x—*a
^  
’ "■ ’ 
= iS j/iC *) ‘ - ’ Hjj/nC*)
formulalar o‘rinli.
3-108. Aytaylik  lim  /(* )  = a  va  lim g(t)  = 
x0
 bo'lsin.  lim 
f(g (t
))  =
x  xo 
t-*t0 
t_»tn;
a  kelib chiqadimi? Javobingizni asoslang.
7-§. Ba’zi bir ajoyib limitlar
Limitlami  hisoblashga  doir  mashqlarda  ba’zi  bir  ifodalaming  limiti  ko‘p 
marta uchraydi. Shuning uchun ulami alohida ko‘rib chiqamiz.
s i n  
X
3.59-teorema  Ushbu  lim---
=1
 tenglik o'rinli
x_>0 
X
85

---

у
A B--
SI 7X
С D*%
X
Б
-X
D
/
В
if
\
/
X)
'
/
4
1C
\
/
X
£3 sin
X
X
-"J
-
s i
19-rasm
Isbot.  0  Ma’lumki,  0sinx0 boMgani uchun
x
 
1
 
sinx
bu tengsizlikni sinx ga bo‘lsak,  1<--- <----  hosil boiadi.  Bundan cosx<---
sinx  cosx 
x
<1  kelib  chiqadi.  Uni  (-1)  ga  ko‘paytirib,  1  ni  qo‘shsak,  0tengsizlikka kelamiz. Endi, 
, cosx juft funksiyalar boMgani uchun bu tengsizlik
x ni -x bilan almashtirganda ham o‘zgarmaydi. Shu sababli, oxirgi  tengsizlik 
0
 dan 
farqli  barcha 
x €
 
larda o‘rinli.  Qolaversa, 
0
 < x < 
j
 boMgan x larda  1-
cosx=2sin
2
 — <2|sin —1<2| — |=|x  boMadi.  Bulardan,  |l-^^|<|x|  tengsizlik  hosil
2 
2
 
2
 
x
boMadi. Bundan x -> 0 da 1 -----
*
 0,  ya’ni  lim -- =1 kelib chiqadi. ♦
X
 
X
Odatda bu tenglik 
birinchi ajoyib limit
 deb yuritiladi.
3.60-natija. Quyidagi tengliklar o‘rinli:

---

Isbot. 0 a)  lim-1—
= l im--- -
x->U 
%
 
х->0
cos  — + sin  —   cos  — sin
2
 sin
2
 —
= lim-
2
  _  
1
2
 
4
= —lim 
2
sin — 
___
2
x
v 
2  у
smx
b) lim
.. 
. 
..  sin л:  ,  ,  , 
lim----lim--- = 
11
 = 
1
>
x^°  x 
^   x
 
x_>flCOS
X 
X  J  ^ c o s x
  *-*0 
X
3.61-teorema. Ushbu  lim^l + — j  
=e
  tenglik o‘rinli.
Isbot. 
0 
Awal  lim 
^1
h
— ^ 
=e
  ekanligini ko‘rsatamiz.
Aytaylik,  {**}  ketma-ketlik +oo  ga intiluvchi  ixtiyoriy ketma-ketlik boMsin. 
^  holda, barcha 
к
 lar uchun лг
*>1
  deb qarash  mumkin.  Endi, 
xk
 ning
butun qismini 
nk
 orqali belgilaylik, ya’ni 
Пк=[хк].
 
Shunday qilib,
\
  ^ 
1 
Г 
n jj
l| 
1
 +  ^ 
^etma"ketlik ||i + A 
jjj 
ketma-ketlikning qismiy ketma-ketligi 
boMadi. Endi, 
nk<, 
x n 
< n
k+1
  dan
1
 
1 . 1
< —  < —   va 
1
 +
nb
 
+1
< 
1
 + —  
< 
1
 +
fij- +1
tengsizliklar kelib chiqadi. Shu sababli,
lim
г —►-ко
lim
1
 +
1
1
 +
nk
 
+1 
1
=  lim
=  lim
1
 +
1
ЧЯЦ
+1
 
,
Y4
1
  +   -
П
t
 у
Пк + l 
у
f=e.
1
 + —  
n,
87

---

boMadi 
va  oraliq  ketma-ketlikning  limiti  haqidagi  teoremaga  asosan 
lim
X
 —►+
0
C
V
Agar oxirgi tenglikda 
x=-y
  almashtirish bajarsak, u holda x->-oo da  >->+oo
1
 н—  
~e
  kelib chiqadi. Demak,  lim  1 + —  = 
e.
x.
 
x
boMadi va j  l + — j   =^1-—j  = 
j   =j\ + —
j   munosabatlargako‘ra
lim  I 
1
 + -  I  =  lim
i +.  1
V
y
- 1
=  lim
У - + + OC'
y—
l
У- IJ
  к 
у - 1
-e
  kelib
chiqadi. Demak,  lim I  1 + —  I 
=e.
Isbotlangan bu ikki tenglikdan  liml  1 + —  ) 
-e
  boMadi. ♦
Oxirgi tenglikdan  1 ^ 0  + 
y )v ~ e
  ekanligini keltirib chiqarish mumkin.
1
 
t 
~ 
Haqiqatan, 
x=—
  almashtirish  kiritsak, 
y
-+0  da x-*x>  boMib,  lim(l + y)r =
у  
v-»0v
limf 1 + —  |  = 
e
  kelib chiqadi. 
x )
Murakkab  funksiyaning  limiti  haqidagi  teorema  yordamida  quyidagi 
tengliklami keltirib chiqarish mumkin:
.. 
logQ(1 -+-л:) 
1 
ln(l + x)  , 
.  ..
3.62-natija  lim------- = ---, xususan  lim----- = 1  tenglik о nnli.
X  
lna 
X
Isbot. 0  lim 
+  — = limlog  (1 + x)* = log 
e
 = ——
x-м 
x 
*-*o 
‘ 
‘
 
lna
3.63-natija.  lim q 
= Ina, xususan  lime 
= 1  tenglik o‘nnli.
x
- * 0
 
x 
* - *  
X
Isbot. 0 A gary ^- l  desak, u holda a*=l+y yoki x=loga(l+y) boMib, x->0 da
..  ax -
1 
v 
.
 
y—»0 boMadi. Demak,  lim----= lim--- 1----= ln a >
Jr
->0
  Д- 
y
->0
 logQ(l + y) 
gg

---

(l + xV'-l
3.64-natija.  lim------- =//  tenglik o'rinli
x-M) 
x
Isbot. 0  Agary=(l+jc)>l-l  desak,  u holda (l+x>‘=l+>> yoki |iln(l+x)=ln(l+y) 
bo'lib, x—>0 
day
—»0 bo'ladi. Demak,
0
+
* r -
i
lim
x->0
ж-ЛХ
 
x-*C 
X - l n ( l   +   y )  
^ { l n
( l   +   y )  
JC 
J 
И ' 
1 — cos 
4x
3.65-misoI.  lim------ limitni hisoblang
x~*°
  xsin
2
x
Yechish.  lim
— -°s4x
 iim ? sm' 2x = 
2
 = 
4
x-*°  xsin
2
x  *-*o  xsin
2
x 
x-*o  2x
3.66-misol 
limitni hisoblang.
Yechish.  lim
lim
X —КО
f .
i +  1
X + l
(
 x + 
2
N
f-
[x + l ,
Jl
3
•(
V,
\ x+l
x+l
- 3
= e~-l = e3.
3.67-misol.  lim
- 1
 
2x
  —  limitni hisoblang
«-*> 
2x 
6
Yechish.  64-natijaga ko'ra
<У1-2х-1_ 1 
О " 2*)" ~1 
(  1Л
  1  1 
2
hm--------lim 
(-
2
) = —. — .(-
2
)=- —
x~*° 
3x 
3  «-л 
-2x 
3 n  
3n
8
-§. Funksiyalaming limitga ega bo'lish shartlari
1. 
Monoton funksiyaning limiti.  Aytaylik, y=/jc) funksiya
X
 to'plamda 
berilgan va 
a
 nuqta shu to'plamning limit nuqtasi bo'lib, barcha xe 
X
 lar uchun jcbo'lsin.
89

---

3.68-teorema.  Agar 
y=J{x)
  funksiya 
X
 to‘plamda  o'suvchi  va  yuqoridan 
chegaralangan  boMsa,  u  holda  u 
a
  nuqtada  limitga  ega,  agar  yuqoridan 
chegaralanmagan boMsa, uning limiti 
+00
 bo'ladi.
Isbot.  0  Aytaylik,  у=Дх)  funksiya 
X
  to'plamda  yuqoridan  chegaralangan 
boMsin, ya’ni  {Дх) : 
xeX
 }  to'plam yuqoridan chegaralangan.  Bizga ma’lumki, bu 
to'plam aniq yuqori chegaraga ega. Uni 
b
 orqali belgilaylik: Z>=sup{/(x): 
xeX).
 Endi, 
b
 son^.v) funksiyaning 
x-*a
 dagi limiti bo'lishini ko'rsatamiz.
Aniq yuqori chegara ta’rifiga ko'ra, barcha 
x g X
 
lar uchun 
J[x)
 va ixtiyoriy 
e
 > 0  uchun  biror 
x'  E X
  topilib, 
f(x') > b — s
  bo'ladi.  Berilishiga  ko'ra 
j{x) 
funksiya  o'suvchi.  Ya’ni,  barcha 
x' < x
  larda 
f(x') < f{x
)  bo'ladi.  Bundan 
b — e
 < 
f(x) < b < b
 + 
e
  tengsizlikni hosil qilamiz. Agar 
5
 = 
a
 — 
x'
 deb olsak, u 
holda 
0<\x — a\ < S
  tengsizlikni  qanoatlantiruvchi  barcha 
x
  larda 
b — e<  
f( x ) < b + s
  tengsizlik o'rinli bo'ladi.
Demak, ta’rifga binoan,  lim^jc)=&.
x ~ > a
Endi,  Aytaylik, Дх)  funksiya yuqoridan  chegaralanmagan  bo'lsin.  U  holda 
qanday ДХ) katta son olmaylik, shunday 
x'  E X
 mavjud bo'lib, / ( * ')   > A bo'ladi. 
Дх)  funksiya  o'suvchi  boMganligi  uchun 
x > x'
  tengsizlikni  qanoatlantiruvchi 
barcha