T u r g u n b a y e V r I s k e L d I m u s a m a t o V ic h matematik analiz

J(x)
 funksiyaning 
a
 nuqtadagi limiti 
deyiladi.
3.35-misol.  lim(3x — 1)  = 5 ekanini isbotlang.
Yechish. ^x)=3x-l  funksiyani qaraymiz va ixtiyoriy e>0 son olamiz. U holda 
\f(x) —
 5|  < 
e
  <=> 
\3x —
 
1
 - 5|  < 
£
 <=>  |3(x — 2)|  < 
£
  <=> 
\
x
 — 2| <
74

---

munosabatlardan ko'nnadiki,  agar e>0 son uchun 
8
 = | deb olsak, u holda |x-2|boiganda, |Ддг)-5|<е tengsizlik bajariladi. Buesa, tanfgako'ra lim(3jr-l)=5 ekanini
x —*2
bildiradi.
3.36-misol.  lim(x
2
 — 3)  = 
6
 ekanini isbotlang.
Yechish. 
bo‘lsin.  Ixtiyoriy e>0 son olaylik.  U holda  |
f(x) -
 
6
| <
e
  <=>  |x
2
 — 3 — 
6
| 
< s  <=>  \x2
 — 9|  < 
e,
 bundan
\
x
 + 3||x - 3| < e 
(
1
)
munosabat o‘rinli.
Agar 
5
 ni  1  dan kichik deb olsak, u holda 
\
x
 — 3|  < 
8
 < 
1
 dan 2chiqadi. 
x
  shu oraliqda o‘zgarganda (
1
) tengsizlikning chap tomoni 
7
 • 
\
x -
 
3
| dan
katta boLla olmaydi. Shu sababli 7 
• 
\
x 
-  
3| 
<  
e
 
deb olsak, (
1
) o'rinli bo'ladi.
8 
s
Demak, 
S=min{
 1,-}  deb olsak, u holda |Дх)-6|=|х+3|- |x-3|<7
--
  bo‘ladi.  Bu esa,
ta’rifga ko‘ra Н т ^ - З ) ^  ekanini bildiradi.
x->3
# 
^
3.37-misol. Koshi ta'rifidan foydalanib  lim----= 4 tenglikni isbotlang.
v-2 
X - 2
x'
2
 — 4
Yechish. /(*) = ---—  funksiya 
x-2
 nuqtada aniqlanmagan.  Ixtiyoriy e>0
son olamiz va |/(*)-4|  ifodani qaraymiz:  |/(.v)-4|=
=|*+2-4|=|x-2|. Bundan ko'rinadiki, agar
ixtiyoriy e
>0
 son uchun 
8
 
=z
  deb olsak, 
0
 <| 
x-
 
2
1<5  shartni qanoatlantiruvchi 
barcha 
x
  larda |/(дг)-4|<б  tengsizlik bajariladi. Demak, ta'rif bo'yicha
* 2- 4
 
1
{x-2)(x+2)
x-2
x-2
x'-4 
lim-— — = 4 
x-2
3.38-ta’rif. Agar ixtiyoriy A>0 son uchun shunday bir 
6>0
 son mavjud bo‘lib, 
xeX
  ning  0<|x-a|<6  tengsizlikni  qanoatlantiruvchi  barcha  qiymatlarida  |Дх)|>Д
75

---

tengsizlik  o'rinli  bo'lsa,  u  holda  oo  nuqta 
J(x)
  funksiyaning 
a
  nuqtadagi  limiti 
deyiladi. Bu hoi  lim 
f(x)
  = oo orqali belgilanadi.
Agar 
x
 ning 
a
 gayetarlichayaqin qiymatlanda Длг)>0 bo'lsa, lim 
f(x)
  = +
00
,
x->a
agar
7
(x
)<0
 bo'lsa,  lim /(x )  = 
-00
 kabi yoziladi. 
x->a
3.39-misol. lim—— = 
00
 ekanligini isbotlang.
X~>1
  X—1 
0
 
"
Yechish. 
f(x)
  = ■
—  funksiyaning aniqlanish sohasi (—
00
, 1) и (1, +
00
), 
a 
=
1  uning limit nuqtasi.  Ta’rif bo'uicha ixtiyoriy Д> 0  son uchun shunday bir 
8 > 0 
son mavjud bo'lib,  aniqlanish sohasiga tegishli 
x
 ning 
0
  <  |x-l|  < 
8
 tengsizlikni
qanoatlantiruvchi  barcha  qiymatlarida  |^|  > A  tengsizlik  o'rinli  bo'lishini 
ko'rsatishimiz kerak.
|у-^|  > A tengsizlikdan 
\
x —
 1|  < i  ni  hosil  qilamiz.  Agar  ixtiyoriy  A> 0 
son  uchun 
8
 = -  ni  olsak,  u  holda 
0
  <  |лг—11 < <5  tengsizlikni  qanoatlantiruvchi
barcha 
x
 larda M —  > A o'rinli bo'ladi.  Demak, lim — = 
00
. 
u
-11
 
’ 
x-+lX-\
2.2. Funksiyaning bir tomonli limitlari.
3.40-ta’rif.  Agar  ixtiyoriy 
S>0
  uchun 
(a-S;a)
  intervalda 
X
  to'plamning 
kamida  bitta  nuqtasi  bo'lsa,  u  holda 
a
  nuqta 
X
 to'plamning 
chap  limit
  nuqtasi 
deyiladi.
Masalan, (2,4) imterval uchun 4 chap limit nuqta bo'ladi.
3.41-ta’rif.  Agar  ixtiyoriy  ^>0  uchun 
(a,a+S)
  intervalda 
X
  to'plamning 
kamida  bitta  nuqtasi  bo'lsa,  u  holda 
a
  nuqta 
X
 to'plamning 
о ng  limit
  nuqtasi 
deyiladi.
Masalan, (2,4) imterval uchun 2 o'ng limit nuqta bo'ladi.
Aytaylik, .у^Дл:) funksiya^ to'plamda berilgan bo'lib, 
a
 nuqta
X
 to'plamning 
chap (yoki o'ng) limit nuqtasi bo'lsin.
3.42-ta’rif (Geyne). Agar 
X
 to'plamning nuqtalaridan tuzilgan va har bir hadi 
a
 dan katta (mos ravishda, kichik) bo'lib, 
a
 ga mtiluvchi ixtiyoriy  {*„}  ketma-ketlik 
olganimizda ham, funksiya qiymatlaridan tuzilgan (Дх„)} ketma-ketlik doim yagona
76

---

b
  ga intilsa, 
b
  son 
fix)
  funksiyaning 
a
 nuqtadagi  о 
ng
 (mos ravishda, 
chap) limiti 
deyiladi.
Funksiyaning o‘ng limitini  lim 
f[x)=b yok\J(a+0)=b,
 chap limitini
x - * a
+0
lim 
J(x)=b yok\J(a-0)=b
 orqali belgilanadi.  Agar a=0 bo'lsa,  Нт/дг)=У(-К)),
л-Уо—0 
x-»+0
lim.ДдО^-О) kabi belgilash ishlatiladi.
x-v-0
{
x
 — 4, 
aqar  x
 < 2,
2
 
„ 
funksiyaning 
x = 2
xz, agar 
x > 2
nuqtadagi chap va ong limitlarini hisoblang.
Yechish.  Agar 
x„<2
  shartlar  bilan  2  ga  yaqinlashuvchi  {*„}  ketma-ketlik
olsak,  u holda / (
xn)
 = 
xn
 — 4  va  lim /(x n)  =  lim (xn — 4) =  lim 
xn —
  lim  4
П - »  oo 
n - »  o o  
n - * o o  
n - » o a
= 2 - 4 = —2 bo'ladi.
Agar 
x„>2
 shartlar bilan 2 ga yaqinlashuvchi  {*„} ketma-ketlik olsak, u holda 
/(*„)  = 
xl
  va  lim /(* „ )  =  lim 
x%
 = 4 bo'ladi.
7 l - >  o o  
71 “ >00
Demak,  Urn  / ( * )   = —2,  lim  /(* )  = 4. Bu misoldachap vao'ng limitlar 
mavjud, ammo bir-biriga teng emas.
Funksiyaning chap va o‘ng limitlariga “
s-S
”  tilida ham ta’rif berish mumkin.
3.44-taVif (Koshi).  Agar har qanday, kichik 
s
>0 son uchun shunday bir <£>0 
son  mavjud  bo'lib, 
xeX
 ning 
a
r+5  (
a-b
)  tengsizlikni  qanoatlantiruvchi 
barcha  qiymatlarida 
1
Дх)-
6
|<£  tengsizlik  bajarilsa, 
b
  son  ^(jc)  funksiyaning 
a 
nuqtadagi 
о 'ng (chap)
 limiti deyiladi.
Funksiyaning chap va o'ng limitlari uning 
birtomonli limitlari
 deb yuritiladi. 
Agar 
a
 nuqta, bir vaqtda^f to'plamning ham chap, ham o'ng limit nuqtasi bo'lsa, u 
holda quyidagi  teorema o'rinli.
3.45-teorema.  Ддс)  funksiya, 
a
  nuqtada  limitga  ega  bo'lishi  uchun,  shu 
nuqtada  uning chap  va o'ng limitlari  mavjud  bo'lib, У(а-
0
)=^Да+
0
)  tenglik  o'rinli 
bo'lishi zarur va yetarli
Isbot (3-62-masala).
77

---

3.46-ta’rif. Ixtiyoriy A>0 son uchun (A; 
+
00
) 
interval 
+00
 
«nuqta»ning, (-oc; A) 
interval -ac «nuqta»ning, (-go;A)u(A;+qc) to‘plam esaoo «nuqta»ning 
atrofi
 deyiladi.
Qolaversa,  oo,  +oc,  -oo  «nuqta»lar  bu  to‘plamlarga  limit  nuqta  bo'lishi 
yuqoridagi kabi ta’riflanadi. Bu holda ham, mos ravishda  limx„=oc',  lim.v„=-Hx, lim
П-ДО 
/t->00 
rt-KO
x„=-cc
  bo'ladigan  {*„}  ketma-ketliklami  cheksiz  ko'p  usullarda  tanlab  olish 
mumkin.
3.47-ta’rif.  (Geyne).  Agar 
X
 to'plamdan  olingan  va  lim 
xn
  = 
00
 
bo'lgan
П-*
 
00
ixtiyoriy  {дсл}  ketma-ketlik  uchun,  funksiya qiymatlaridan tuzilgan  {/(*„)}  ketma- 
ketlik,  har  doim  yagona 
b
  limitga  ega  bo'lsa,  u  holda 
b
  soni/дс)  funksiyaning 
cheksizdagi ("
00
" nuqtadagi)/ш/7/deyiladi vaquyidagichabelgilanadi:  lim 
f(x) =
X
-+00
b.
Shunga o'xshash funksiyaning 
-
00
, -foo 
nuqtalardagi 
limitlariga
 ta’rif berish 
mumkin.
3.48-misol. 
J(x)=sinx
  funksiyaning  дг-++оо  da  limitga  ega  emasligini 
ko'rsating.
Yechish.  Limiti  +oc  bo'lgan 
хп=пк
  yoki 
x'n
  = (2n -I- 
^)n
 ketma-ketliklami
olaylik.  U holda 
f(xn
)  = 
sinnn
 = 
0
,f(x'n)
 = 
sin(2n
 + 
^)n=
 
1
  bo'lgani  uchun,
/(*n) = 
=  *  bo'ladi.  Bu esa, х->-кю da^)=sim: funksiyaning
limiti yo'qligini ko'rsatadi, chunki ta’rif bo'yicha limit yagona bo'lishi kerak.
Yuqorida funksiyaning nuqtadagi  va cheksizdagi  chekli  limitlariga ta’riflar 
berildi.  Shunga  o'xshash  holda  funksiyaning  nuqtadagi  va  cheksizdagi  cheksiz 
limitlariga ta’riflar berish mumkin (63-65-masalalar).
Mashq va masalalar
3-61.  To'plamning  limit  nuqtasiga  berilgan  ta’riflaming  ekvivalentligini, 
ya’ni  quyidagi  teoremani  isbotlang: