T u r g u n b a y e V r I s k e L d I m u s a m a t o V ic h matematik analiz

a
  nuqta 
X
 to'plamning 
limit nuqtasi
  bo'lishi
2.3. Funksiyaning cheksizdagi limitining ta’rifi.
78

---

uchun 
a
 nuqtaning ixtiyoriy atrofida 
X
 to‘plamning cheksiz ko‘p nuqtalari bo‘lishi 
zarur va yetarli.
3-62.  3.45-teoremani isbotlang.
3-63  .  lim  / O ) 
= b
 ni ta’riflang. Geometrik talqin bering.
X-»+oo 
* 
e
3-64.  lim 
f(x)  = b
 ni ta’riflang.  Geometrik talqin bering.
*->-00
 
* 
^
3-65 .  lim 
f(x
)  = 
oo
 ni ta’riflang.  Geometrik talqin bering.
X->+oo 
*
3-66. 
S
  ning  qanday  musbat  qiymatlarida  0 <  |x-x0| < 
S
  tengsizlikdan 
I/O*) ~ a I 
< £
 tengsizlik kelib chiqadi? Bu yerda
a) 
/(* ) = 
x2,x0 
= 3,a = 9,s = 0,001;
b) 
x°
 = 3;  a 
= \
>  E
 = 
0
,
01
;
c) 
f(x)
 
=  
cosx,x0 
=   тг; 
a 
=   —
1
 
,
e
 
= 
0
,
001
.
3-67. 
S
 ning qanday musbat qiymatlarida 
\
x -
 1|  < 
S
 tengsizlikdan quyidagi 
tengsizlik kelib chiqadi? Bu yerda
a) 
\lgx\ <
 
2
; 
b)  |^х|  < 
1
; 
с) 
\lgx\ <
 
0
,
1
; 
d) 
\lgx\ <
 
0
,
01
.
3-68.  Har bir £ > 
0
  son  uchun  shunday 
S >
 
0
  son  ko'rsatinki, 
\
x —
 1|  < 
S
tengsizlikdan 
— 
2 1
  < e tengsizlik kelib chiqsin.
Funksiyaning nuqtadagi limitining Geyne ta’rifidan foydalanib, limitni toping 
(69-72):
3-69.  lim  (4x  +  3). 
3-70.  lim(x
2
  —  4x  + 
8
).
*->-1 
x-»2
3-71. lim V l — 
x2.
 
3-72.  lim
x - * -  
x - * \ f 3 x
  ~ 1 
Funksiyaning  nuqtadagi  limitining  Koshi  ta’rifidan  foydalanib  tenglikni 
isbotlang (73-76):
3-73.  lim(3x — 
2
)  =  -2. 
3-74. 
\im(-x  +
  4)  =  3.
x->0 
x-»l 
y
3-75.  lim 
x2
  =  9. 
3-76.  lim-  = -.
x -* 3
 
x-*S 
X
 
5
f(x)
 funksiyaning 
x0
 nuqtada limiti mavjud emasligini isbotlang(77-78):
3-77. /(« ) =  i   x0  =  0.  3-78 ./(* )  = f 
“0ar 
,* o  = 2.
x
 
0
c, 
agar x < 2 bo  Isa
79

---

3-79.  Hm/(x) limitning mavjudmasligini isbotlang:
a) 
f(x)
  = 
arcctg 
~; 
b)  /(x )  = 
signsin I
.
3-80.  lim / (x) ni toping. Bu yerda /(x )  =
ЛГ
-+0
agarx = -  (p,q) = 1,
0
, 
x irratsional son
3-81.  Koshi  ta’rifidan  foydalanib  lim /(x )  =  1  ekanligini  isbotlang,  bu
x-*x0
yerda /(x)  = 2(*  ^   + l,x
0
  = 
1
. Berilgan £ ga ko‘ra 
S
  ni toping:  1) = - ;  2) 
e
  =
д. —i  
2
0
,
01
.
Ko'rsatilgan nuqtadagi bir tomonli limitlami hisoblang(82-83):
3-82./(х )  =  [x],x
0
  =  2.
3-83 
.f{x)
  =
—
2
, 
agar x
 < 
1
 
bo'lsa,
^,agar x > 1 bo'lsa
  '  a^ °   ~~ 
^ X°  ~  9'
5-§. Limitga ega bo‘lgan funksiyalaming xossalari
Aytaylik, 
y=f{x)
  funksiya 
X
 to'plamda  aniqlangan  va 
a
  son 
X
 to'plamning 
limit nuqtasi bo'lsin.
3.49-xossa. Agar Пт /(x ) = 
b
 limit mavjud bo'lib, 
b>p
 (
b
) bo'lsa, u holda
xeX
ning 
a
 ga yetarlicha yaqin 
qiymatlariday(jc)>p 
(f{x)
 bo'ladi.
Isbot.  0  Aytaylik,  lim 
f(x)
  = 
b
  bo'lib, 
b>p
  bo'lsin.  U  holda 
s
>0  sonni
x-*a
0
 tengsizlikni qanoatlantiradigan qilib tanlaymiz. Limit ta’rifiga ko'ra bu 
s>
0 
uchun shunday 
S>
0 son topilib, 0<|x-a|xe X
 larda 
\f{x)-b\
  bo'ladi.  Bundan 
b-e
  kelib  chiqadi.  Agar 
b-s>p
  tengsizlikni 
hisobga olsak, u holda>(x)>/? ni hosil qilamiz. ♦
3.50-xossa. Agar Urn /(x ) = 
b
 limit mavjud bo'lib, 
b>
0 
(b<
0) bo'lsa, u holda 
xeX
 ning 
a
 ga yetarlicha yaqin (
x*a
) qiymatlarida^x)>0 (Дх)<0) bo'ladi.
Isbot. 0 Yuqoridagi isbotda p = 0 deb olish yetarli. ♦
80

---

3.51-xossa.  Agar  lim /(* )  = 
b
  limit mavjud bo'lsa,  u holda 
xeX
 ning 
a
 ga
x-*a
yaqin (x ^ ) qiymatlarida Дх) funksiya chegaralangan bo'ladi.
Isbot. 0 Limit ta’rifiga ko'ra 
e>0
 son uchun, shunday bir <£>0 son topilib, 
xeX 
ning 
a-
6

+ 6
 tengsizlikni  qanoatlantiruvchi, 
a
  dan  farqli  barcha  qiymatlarida 
\f(x)-b\
 yoki 
b-e< f(x)
 bo'ladi.  Demak,  Дх) funksiya x  ning 
(a-S,a+
6
)\{a} 
to'plamdagi barcha qiymatlarida chegaralangan ekan. ♦
3.52-xossa.  Agar 
a
  nuqtaning  atrofidan  olingan, 
a
  dan  farqli  barcha  x 
nuqtalarda  /(x )  < 
g(x)  < 

 tengsizlik o'rinli va lim /(x )  = 
b
 va lim 
cp(
x)  =
x -»a 
x -*a
b
  lar  mavjud  bo'lib,  lim /fx ) =  lim 
cp(x)
  = b  bo'lsa,  u  holda  limo(x)  ham
x-*a 
x~>a 
x-*a
mavjud bo'ladi va lim 
g[x)
  = 
b
 munosabat o'rinli bo'ladi.
Isbot. 0  Shartga ko'ra  НптДх)=
6
.  U holda £X)  uchun shunday £iX)  topilib,
x - > a
0<1лг-дг|<6i tengsizlik o'rinli bo'ladigan barcha 
x
 larda 
b-e
 bo'ladi. 
Shuningdek,  lim(p(x)=/> bo'lganidan, shus>0 uchun бг
>0
 son topilib,
X-+U
0<|хчт|<5
2
  tengsizlik  o'rinli  bo'ladigan  barcha 
x
  larda 
b-e(x)
  tengsizlik 
o'rinli bo'ladi.
Agar 
S=min {
6 1
,
62
}
 
deb  olsak,  u  holda  0<|.v-a|tengsizlikni 
qanoatlantiruvchi barcha дг larda 
b-e^x^+e
 va 
b-£<(p(x)
  tengsizliklaming 
ikkalasi ham  o'nnli bo'ladi.
Endi, y(x)b-e
 kelib chiqadi.  Demak,  limg(x)=
6
. ♦
г-кг
3.53-xossa.  Agar Дх) funksiya 
x-+a
 da limitga ega bo'lsa,  u holda bu limit 
yagona bo'ladi.
Isbot 0 Ketma-ketliklar uchun aytilgan, xuddi shunga o'xshash xossa isboti 
kabi ko'rsatiladi. ♦
81

---

1
. Limitga ega boMgan funksiyalar ustida arifmetik amallar. Aytaylik, 
J(x) 
vag(x) funksiyalar 
X
 to‘plamda berilgan boMib, 
a
 nuqta
X
 to‘plamning limit nuqtasi 
bo‘lsin.
3.54-teorema.  Agar_/(x) vag(x) funksiyalar 
a
 nuqtada limitga ega boMsa,  u 
holda a) 
j{x)
 ± g(x),  b)y{x}g(x),  c) 
( limg(x)^O)  funksiyalaming har biri
g O )  *-»“
limitga ega bo‘ladi  va а)  Нт(Дх) ± 
g(x))=
  lim  Дх) ±  limg(x),  b)  lim(/(x}g(x))=
x - + a  
x - * a  
x —>a 
x ~ > a
.. 
f(x)
  lim /(x) 
итДх)-limg(x),  c)  lim---
= 
jlz
>
----formulalar o‘rinli.
x->a 
x-»e 
g(x) 
limg(x)
x
—
Isbot. 0 Aytaylik,  НтДх
)=6
  va  limg(x)=c  boMsin. U holda 
X
 to‘plamdagj
x - H t  
X - * J
a
 yaqinlashuvchi  ixtiyoriy  {x„}, x / a   ketma-ketlik  uchun  НтДх„)=
6
,  limg(x„)=c
n-vn 
n-+00
boMadi.
Bulardan  lim^x„)tg(x„))=lim^(xn)±limg(xn)=Z>±c  tenglik  kelib  chiqadi.
m
—>or
Demak,  Нт(Дхл) ± g(x„) )=  lim/(x„) ±  lim g(x„).
x - * a  
x - * a  
x - * a
Xuddi shu kabi qolgan formulalami ham isbotlash mumkin. ♦
3.55-natija.  Agar 
J(x)
  funksiya 
a
 nuqtada  limitga ega boMsa,  u holda 
kf{x) 
funksiya ham  limitga ega bo‘lib,  Нт(АДх))=А:
11
ПтДх)  boMadi.  Bu yerda 
к
 biror
x -к? 
x->a
tayin, o‘zgarmas son.
Isbot. 0 54-teoremaning b) holida g(x)=& deb olsak, 
lim 
(kj(x)y=
 lim А:- НтДх)=А:НтДх)  boMadi. ♦
x - * a  
x ~ * a  
x —>a 
x - t a
2.  Murakkab funksiyaning limiti.  Aytaylik, y=J{u)  funksiya 
U
 to‘plamda 
berilgan va 
с
 son 
U
 to‘plamning limit nuqtasi, w=g(x) funksiya A'to‘plamda berilib, 
a
 son 
X
to‘plamning limit nuqtasi 
va.E(g)aU
boMsin. Shuningdek, 
a
 nuqtaning biror 
(a-5;a+5) atrofidagi barcha nuqtalarda g(x)*c boMsin. Bu holda X to'plamdaXg(x))
I
6-§. Limitga ega boMgan funksiyalar ustida amallar
82

---

murakkab  funksiya  aniqlangan  bo‘ladi.  Bu  murakkab  funksiyaning  limiti  uchun 
quyidagi teorema o'rinli.
3.56-teorema. Agar  Hmg(x)=c va  limf(w)=Z> bo'lsa, u holda x->a da /fg(x))
ДГ-Х
1
 
u->c 
' '
murakkab funksiya ham limitga ega bo'lib,  lirr^g(x
))=6
 bo'ladi.
Г-><2
Isbot. 0 Agar  НтДм)=А bo'lsa, u holda ta’rifga ko'ra har bir e>0 son uchun
u—yc
shunday cr
>0
  son  mavjud  bo'lib, 
0
<|m-c|ueU larda [Дг/)-
6
|<е  bo'ladi.  Shuningdek,  limg(x)=c  bo'lsa,  yuqoridagi 0  son
X-Vn
uchun  shunday  5>0  son  mavjud  bo'lib,  0<|x-a|<5  tengsizlikni  qanoatlantiruvchi 
barcha 
x e X
 
larda  |g(x)-c|0  son  uchun  shunday  5>0  son 
mavjud bo'lib,  0<|x-a|<5 tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha xe 
X
 larda  |/(g(x))- 
b\
 bo'ladi.  Bu esa,  limXg(x))=fc ekanligini ifodalaydi. ♦
x —ta
3. 
Aniqmas  ifodalar.  Xuddi  ketma-ketliklardagi  kabi,  ba’zan  limitga  ega 
bo'lgan  funksiyalar  ustida  arifmetik  amallar bajarish,  ayrim  aniqmasliklarga  olib 
keladi. Quyida shunday hollami ko'rib o'tamiz.
Aytaylik,