T u r g u n b a y e V r I s k e L d I m u s a m a t o V ic h matematik analiz

П->оо
Xuddi  shu  kabi, 
{y
n}  ketma-ketlik  kamayuvchi,  quyidan  chegaralangan  va 
lim 
yn
 
=  
c'
  limit mavjud.  Qolaversa,
n —
*OQ
с '~c=
 
lim 
yn
 
-   lim 
x n
  =   lim 
(yn 
-  x n )
  =   0.
П-» 00 
П-* oo 
П-*
 00
Bundan 
с
  =  
с'
  ekanligi  kelib chiqadi.  ♦
49

---

Agar 
[a1;b 1],[a2;b 2] ,...,[ a n;bn],...
  segmentlaming  har  bin  o ‘zidan 
oldingisining qismi, ya’ni
W i.b x\
  =з 
[a2;b 2]
 
[
an;b
n]  э   -
boMsa,  u holda ular 
ichma-ich joylashgan segmentlar
 ketma-ketligi  deyiladi. 
Quyidagi tasdiq, 
ichma-ich joylashgan segmentlar prinsipi
 deb yuritiladi.
2.55-natija. 
Agar  ichma-ich  joylashgan 
[at ;
 Ьг], 
[a2;b 2] ,...,[ a n; bn],...
 
segmentlar  ketma-ketligi  uchun  lim(a„-6„)=0  boMsa,  u holda segmentlaming  chap
uchlaridan  tuzilgan 
{an}
  va  o‘ng  uchlaridan  tuzilgan 
{b„}
  ketma-ketliklar  bitta 
limitga ega va bu limit barcha segmentlarga tegishli  yagona nuqta bo‘ladi.
Isbot. 
0  1) 
{an}
  o‘suvchi, 
{bn}
  kamayuvchi,  2) barcha we  N   lar uchun 
a„
3)  lim (a„-i„)=0  boMganligidan  2.54-teoremaga  ko‘ra  lima„=lim^>n  bo'ladi.  Bu
П-^СО 
Л-+СП
 
00
limitni  с  deb olsak, barcha we  N   lar uchun 
a„
 kelib chiqadi.
Endi  bu  nuqtaning  yagonaligini  ko’rsatamiz.  Faraz  qilaylik,  shu 
с
 nuqtadan 
farqli  va 
[an;b n],n
  =   1,2,3  ....  kesmalaming  barchasiga  tegishli 
c'
  nuqta  mavjud 
bo’lsin. U  holda 
bn  — an  >  \c'  — c\  >
  0  bo’ladi. Bu esa  lim (bn  — 
an)
  =   0 shartga
n->00
zid.  Demak,  с  =   c’>