hoi ham isbotlanadi (30-masala).
2.30-natija.
Agar lim
xn
=
a
va
a
>
0 (a < 0) b o isa, u holda biror
71-» CD
nomerdan boshlab, barcha n lar uchun
x
n>0
(x„<0) bo‘ladi.
2.31-teorema.
Agar barcha n
E N
larda
x n
=
yn
bo‘lib, lim
xn
=
a
va
П->оо
lim
xn
=
b
bo'lsa, u holda
a=b
bo‘ladi.
7l->co
Isbot limitning yagonaligidan kelib chiqadi (32-masala).
2.32-teorema.
Agar barcha
n
E
N
larda
xn
<
yn
boiib, lim
xn
=
a
va
П-+0О
lim
yn
=
b
boMsa, u holda
a
<
b
bo'ladi.
П-^оо
Isbot.
0
Faraz qilaylik
a
>
b
bo‘lsin. Bu
a
va
b
sonlar orasida biror
r
son
olamiz:
a>r>b.
Endi lim
x n
=
a
va
a >r
boigani uchun shunday
щ
6
N
son
7l-*0O
mavjud bo‘lib,
n > n t
bo‘lgandax„>r bo‘ladi.
2.25-teoremadan quyidagi natija kelib chiqadi:
36
Xuddi shuningdek, J i^ y ? i = b va
b
boMgani uchun shunday n 2
E N
son
mavjud bo‘lib,
n>ri
2
boMganda >>„<>* boMadi.
Agar
n0=max{n\, n2
} deb olsak, u holda
n>n0
tengsizlikni qanoatlantiruvchi
barcha
n
larda, birvaqtda >?wrtengsizliklar o'rinli boMib qoladi. Bu qarama-
qarshilik farazimizning noto‘g ‘ri ekanligini ko‘rsatadi. Demak,
a
♦
2.33-teorema (Oraliq ketma-ketlikning limiti haqidagi teorema).
Agar
barcha
we N
larda
x n < y n < zn
boMib, lim
x n
=
a
va lim
zn - a
bo‘lsa, u
П-»
00
n
—*00
holda lim
y n
ham mavjud bo‘lib, lim
y n
=
a
boladi.
П—
>oo
n~*
oo
Isbot.
0 Aytaylik, lirn
x n
=
a
boMsin. Limit ta'rifiga ko‘ra ixtiyoriy e>0
uchun shunday
щ E N
son mavjud boMib, n >
n x
boMganda
a —
e
< x n < a + s
boMadi.
Xuddi shu kabi, Jim
z n = a
dan, shunday
n 2 E N
son mavjud boMib,
n>ri
2
boMganda
a -
e
< z n < a
+ etengsizliklar o‘rinli boMadi. Agar n 0 =
m a x {n v n 2}
deb olsak, u holda
n > n 0
tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha
n E N
larda
yuqori dagi tengsizliklardan
a -
e
< x n < y n < z n < a +
e
,
ya’ni
a -
e
< y n <
a +
E
kelib chiqadi. Bu esa,
{y
n} ketma-ketlikning yaqinlashuvchi boMib, lim
y n
=
П->оо
a
ekanini bildiradi. ♦
Mashq va masalalar
Ketma-ketlik limitining ta’rifidan foydalanib, tenglikni isbotlang (27-29):
2-27. lim
3 n «
=
П-*
00 n+1
2-28. lim
4n—l _ 4
n->oo
Sn+2 ~~ 5 ’
2-29. lim
2n;+i
= 2 .
П—
*oo
n
2-30. 2.29-teoremani
a < q
boMgan holda isbotlang.
2-31. Agar
{xn}
ketma-ketlik 0 dan farqli songa intilsa, u holda biror
nomerdan boshlab ketma-ketlik hadlari absolut qiymati biror r > 0 sondan katta
boMadi.
2-32. Agar biror nomerdan boshlab
xn
=
yn
bo‘lib, lim
xn
=
a
va
n->oo
lim
xn
=
b
boMsa, u holda
a=b
boMadi. Isbotlang.
П
-+00
2-33. Agar biror nomerdan boshlab
x n
<
yn
boMib, lim
xn
=
a
va
П-* oo
lim yn =
b
boMsa, u holda
a
<
b
boMadi. Isbotlang.
П-юо
^
3-§. Yaqinlashuvchi ketma-ketliklar ustida arifmetik amallar
1. Ketma-ketliklar ustida arifmetik amallar
Aytaylik, {xn} va
{y
n} ketma-ketliklar berilgan boMsin.
2.34-ta’rif.
Ushbu
Х
1
+ У
1
, x 2 + y 2, - , x n + y n
.....
X 1
—
У \’
x 2
у
2 , . . . ,
xn
y
n , ...,
Х1У1, X
2
y 2l ...,xnyn,
X\
X
2
x n
V
7 ,
................v ...............
(Уп * 0 ,n = 1 , 2 ,. .. )
ketma-ketliklar mos ravishda {*„} va {y„} ketma-ketliklaming yig‘indisi, ayirmasi,
ko'paytmasi va nisbati deyiladi va
{x n
+ yn},
{xn - yn},
{*nyn}, [ ^ }
kabi
belgilanadi.
Yaqinlashuvchi ketma-ketlikning arifmetik amalar bilan bogMiq xossalarini
oMganishdan oldin cheksiz kichik ketma-ketliklar va ulaming xossalarini
o‘ rganamiz.
2. Cheksiz kichik ketma-ketliklar
2.35-ta’rif.
Agar lim
an
= 0
boMsa,
{a„}
cheksiz kichik ketma-ketlik
П-+00
deyiladi.
Buni quyidagicha ham ta’riflasa boMadi:
Ixtiyoriy
e >
0 son uchun shunday n 0 natural son mavjud boMib, barcha n >
n 0 la rd a |a n | <
e
tengsizlik o ‘nnli boMsa, {crn}
cheksiz kichik ketma-ketlik
deyiladi.
2.36-misol.
Umumiy hadi
a„ = ^
boMgan ketma-ketlikning cheksiz kichik
ketma-ketlik ekanligini isbotlang.
38
Yechish.
Ravshanki, n > [7] = % boMganda, |^ | <
s
bo‘ladi. Demak, {^}
cheksiz kichik ketma-ketlik.
2.37-misol.
Agar |q |
< 1
bo‘lsa, u holda
{qn}
cheksiz kichik ketma-ketlik
ekanini isbotlang.
Yechish.
Ixtiyoriy
e
> 0 son uchun
\qn \ <
e
tengsizlikni n ga nisbatan
yechamiz: n > log|q|
e
.
n 0 = [log|Qj г] deb olamiz. U holda ixtiyoriy
e
>
0 son
uchun n > n 0 larda |q n | < г tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Demak, lim
qn
= 0.
П->со
3.
Cheksiz kichik ketma-ketliklar haqidagi lemmalar.
Kelgusida, quyidagi
lemmalardan foydalanmiz.
2.38-lemma.
Chekli sondagi cheksiz kichik ketma-ketliklaming yig‘indisi
cheksiz kichik ketma-ketlik bo‘ladi.
Isbot.
0 Isbotni ikkita cheksiz kichik ketma-ketliklar uchun keltiramiz.
Aytaylik, {a„} va {/?n} lar cheksiz kichik ketma-ketliklar bo‘lsin. U holda
{
Yn)={a n
+
Pn)
ham cheksiz kichik ketma-ketlik ekanligini ko‘rsatamiz.
Cheksiz kichik ketma-ketliklar ta’rifiga k o ra ixtiyoriy
e
>
0 uchun shunday
щ
6
N
son mavjud bo‘lib, barcha n >
n t
lar uchun |a „ | < ^ bo‘ladi.
Xuddi shu kabi, shunday bir n 2 €
N
son mavjud bo‘lib, barcha n > n 2 lar
uchun
\(3n \
< I bo‘ladi.
Agar n 0 = majc{nt / n 2} deb olsak, u holda barcha n > n 0 lar uchun bir
vaqtda
\an \
< J va
\(2n \ < ~
tengsizliklar o‘rinli bo‘ladi. Bundan n > n 0 larda
IXnl =
\an + P n \
= k n l +
\Pn \
С | + | = £
kelib chiqadi. Bu esa, {yn} ketma-ketlikning cheksiz kichikligini ko‘rsatadi. ♦
2.39-lemma.
Chegaralangan ketma-ketlik bilan cheksiz kichik ketma-
ketlikning ko‘paytmasi cheksiz kichik ketma-ketlik bo‘ladi.
Isbot.
0 Aytaylik, {*„} chegaralangan ketma-ketlik, {an} cheksiz kichik
ketma-ketlik bo‘lsin. U holda {yn}, bu yerda
yn =
*n *
a n
ni cheksiz kichik ketma-
ketlik bo‘lishini ko'rsatamiz.
39
Berilishga ko‘ra
[xn]
chegaralangan ketma-ketlik boMgani uchun shunday
с >
0 son mavjud bo‘lib, barcha n €
N
larda
<
с
tengsizlik o‘rinli boMadi.
Shuningdek, {an} cheksiz kichik ketma-ketlik boMganligi sababli, ixtiyoriy s > 0
ga mos ravishda shunday n 0 6 JV son mavjud boMib, barcha
n > n 0
lar uchun
|a n | < ^ tenglik o‘rinli bo‘ladi. Shunday qilib, barcha n > n 0 lar uchun |yn | =
\x n a n
I = U n i'
Wn\
<
c
• “ = £ tengsizlik o ‘rinli bo‘ladi. Bu esa, {yn} ketma-
ketlikning cheksiz kichikligini ko‘rsatadi. ♦
2.40-misol Jim
= 0 tenglikni isbotlang.
Yechish.
Ravshanki, {cosn} chegaralangan ketma-ketlik. j^-j esa cheksiz
kichik ketma-ketlik (2.36-misol). 2.39-lemmaga asosan ( ^ p - j cheksiz kichik
ketma-ketlik, ya’ni lim
= 0.
n-* 00 Tl
3.
Yaqinlashuvchi ketma-ketlik va cheksiz kichik ketma-ketlik orasidagi
bogManish.
Bu bogManish quyidagi teoremada ifodalangan.
2.41-teorema.
Biror
a
son {л:л} ketma-ketlikning limiti boMishi uchun,
{*„ — a} cheksiz kichik ketma-ketlik boMishi zarur va yetarli.
Isbot.
0
Zaruriyligi.
Aytaylik, {*„} yaqinlashuvchi ketma-ketlik va limx„=a
M
—
>0C
boMsin. Limit ta'rifiga asosan, ixtiyoriy e>0 son uchun shunday w0e
Do'stlaringiz bilan baham: 
