T u r g u n b a y e V r I s k e L d I m u s a m a t o V ic h matematik analiz

N  
son mavjud 
boMib, 
n>n
0
 
tengsizlikni  qanoatlantiruvchi  barcha we 
N  
larda 
\xn-a\
 
boMadi.  Bu 
yerda 
xn-a= a„
 
belgilash  kiritsak,  |a„|=|x„-a|ketlik boMadi.
Yetarliligi.
 
Agar  haqlari 
x„
 
va  biror 
a
 
son  orasidagi 
a„=x„-a
 
ayirmalardan 
iborat ketma-ketlik cheksiz kichik ketma-ketlik boMsa, u holda |x„-a| 
=\а„\<в
 boMib, 
a
 
son  {*„}  ketma-ketlikning limiti boMadi.  ♦
40

---

Masalan, дгп  =  
b o isa ,  uni 
x n
  =   2  +  
kabi  yozish  mumkin.  Bu yerda 
umumiy  hadi 
a n  = -^-
  bo‘lgan  ketma-ketlik  cheksiz  kichik  ketma-ketlik  (2-25- 
masala,  k=2).  Bundan,  limx„=2  kelib chiqadi.
n->00
4. 
Yaqinlashuvchi  ketma-ketliklarning  arifmetik  amallar  bilan  bog'liq
 
xossalari
2.42-teorema. 
Agar 
{*n} 
va 
{yn} 
ketma-ketliklar  yaqinlashuvchi  bo‘lsa,  u 
holda {xn  ±  yn} ketma-ketliklar ham yaqinlashuvchi va
lim (xn  ± 
yn) 
=  lim  xn  ±  lim 
yn
П—
>oo 
n->oo 
n-+oo
tenglik  o'rinli  bo'ladi.
Isbot. 
0  Aytaylik,  lim 
x n  =  a,
  lim 
y n
  =  
b
  bo‘lsin.  2.41-teoremaga  asosan
T l
— *00 
7 7 -» 00
{xn 
— 
a]  =
  {
an
}  va  {yn  — 
b ) 
—
  {
J3n
}  cheksiz  kichik  ketma-ketliklar  bo‘ladi.  2.38- 
lemmaga ko'ra  umumiy hadi 
a n
  +  /?n  =   (
x n
  +  yn)  -   (a   +  
b)
 bo‘lgan ketma-ketlik 
ham  cheksiz kichik  ketma-ketlik bo'ladi.  U holda  1-teoremaga ko‘ra umumiy  hadi 
x n
 
+  
Уп
 
bo'lgan keyma-ketlik yaqinlashuvchi va uning limiti 
a
 
+  
b
  ga teng bo‘ladi. 
lim (
x n  -
 yn)  =   lim 
x n  -
  lim 
yn
П -+ С О
 
71—>00 
7 1 -*0 0
tenglik  ham shu kabi  isbotlanadi  (2-37-masala).  ♦
2.43-teorema.
  Agar  {xn}  va  {yn}  lar yaqinlashuvchi  bo‘Isa,  u  holda 
{xnyn}
 
ketma-ketlik ham yaqinlashuvchi va  lim (
x n
 • yn)  =   lim 
x n
  •  lim 
yn
 tenglik o ‘rinli
П-* 00 
n —
>co 
П-* 
00
bo‘ladi.
Isbot. 
0  Aytaylik,  lim 
x n  =  a,
  lim 
y n  =  b
  boMsin.  2.41-teoremaga  ko‘ra
7 1 -* co
 
n —^oo
umumiy  hadi 
xnyn 
— 
ab
 
bo ig a n   ketma-ketlikning  cheksiz  kichik  ketma-ketlik 
ekanligini  isbotlash yetarli.  Buning uchun quyidagi  almashtirishlami  bajaramiz: 
хпУп  ~ a b   =   x nyn
  -  
x nb
  -I- 
x nb  -   ab
  =  
xn(yn  -  b )
  +  
b (x n  -  a).
 
(
1
)
 
Teorema  shartidan 
{x n}, {b }
 
chegaralangan, 
{xn  —  a
}, 
{yn  — 
b
}  lar  cheksiz 
kichik ketma-ketliklar ekanligi kelib chiqadi.  2.39-lemmaga asoson umumiy hadlari 
Xn(yn  —  b),  b (x n 
— 
a)
 
bo‘lgan  ketma-ketliklar  cheksiz  kichik  ketma-ketliklar 
Demak,  (1) ga asosan 
{x ny n  -   ab
} cheksiz kichik ketma-ketlik.  ♦
41

---

2.44-natija.
  Agar  {дс„}  ketma-ketlik  yaqinlashuvchi  bo'lsa,  u  holda 
{сдгп}=с-{*4  ketma-ketlik  ham  yaqinlashuvchi  bo'lib,  lim(t-x„)=c- limx„  tenglik
«—
►
C
O
 
/T->00
o ‘rinli bo'ladi.
Haqiqatan,  2.43-teoremada^„=c deb olsak, oxirgi tenglik kelib chiqadi.
2.45-teorema. 
Agar 
{*„} 
va 
{yn} 
ketma-ketliklar yaqinlashuvchi  va  limjv^O
со
bo'lsa,  u  holda  {—)  ketma-ketlik  ham  yaqinlashuvchi  bo‘lib,  lim  —  =  
-----  n
^УпJ
 
n
—>00
 
yn
 
lim 
y n
П
-»00
tenglik o'rinli  boMadi.
Isbot. 
0  Aytaylik,  lim 
x n  —  a,
 
lim 
yn
 
=  
b  Ф
 
0  bo'lsin.  2.41-teoremaea
71-» со 
7l-*oo
asosan 
x n 
= 
a
 
+  
an
 
va 
yn 
= 
b
 
+  /?n  bo'ladi.  Shuningdek, 
\yn \ 
> 
p
 
bo'ladi  (2-31- 
masala).  Bu ma’lumotlardan  foydalansak,
\ X n _ a \  
\ban - a p n \
I 
Уп 
b\ 
\byn \
bo'ladi.  Bunda 
b a n  -   afin
 
cheksiz kichik  ketma-ketlik, —Ц   <  — ekanligini, y a’ni
| b y n l 
b p
chegaralangan  ketma-ketlik  ekanligini,  e’tiborga  olsak,  ( j 1 - ~]  cheksiz  kichik,
v 
lim 
xn 
„
ya’ni  lim  —  =  
—   =  -   kelib chiqadi.  ♦
n
-*00
 
yn
 
lim 
yn 
b
 
n
4-§.  Cheksiz katta ketma-ketliklar.  Cheksiz kichik va cheksiz katta ketma-
 
ketliklar orasidagi  bogManish
Aytaylik,  {*„}  biror ketma-ketlik boisin.
2.46-ta’rif. 
Agar  ixtiyoriy  katta  AX)  son  uchun  shunday  n 0  natural  son 
mavjud  bo'lib,  n  >   n 0  tengsizlikni  qanoatlantiruvchi  barcha 
n   E  N
  larda  |xn |  >   Д 
tengsizlik o'rinli bo'lsa, u holda  {jt„} 
cheksiz katta ketma-ketlik
 deyiladi.
Bunday hoi  lim 
x n
  =   00 kabi yoziladi.
71 -♦00
Agar  biror  n 0  natural  son  topilib,  n  >   n 0  bo'lganda 
x n  >  A
  (mos  ravishda 
x n  <  —A)
 bo'lsa, uholda  lim 
x n
  =   +00 (mos ravishda  lim 
x n
  =   —cx>)  ko'rinishida
n->oo 
n-*oo
yoziladi.
42

---

2.47-misol.
  Umumiy  hadi 
x n
  =  
n 2
  bo‘lgan  ketma-ketlikning  cheksiz  katta 
ketma-ketlik ekanligini  isbotlang.
Yechish. 
Ixtiyoriy  katta  Д>  0  son  olamiz.  |xn |  >   Д  tengsizlikni  qaraymiz: 
n 2  >   Д,  bundan  n  >   Va.  Agar  n 0  =   [\/д]  deb  olsak,  u  holda 
n   >  n 0
  boMganda 
|x n |  >  Д boMadi.  Demak,  lim  n 2  =   с».
П-» oo
1 + ( - 1)"
2.48-misol.
  Umumiy  hadi 
xn = — ±— !— n
 
boMgan  ketma-ketlik  a)
chegaralangan; b) cheksiz katta ketma-ketlik boMadimi?
Yechish. 
a)  Bu  ketma-ketlik  chegaralanmagan,  chunki  ixtiyoriy  M  musbat 
son  uchun ketma-ketlikning n=2([M ]+l) -hadi  M dan  katta boMadi.
b) 
Ammo bu  ketma-ketlik  cheksiz katta ketma-ketlik boMmaydi.  Chunki  Д> 
0  son va ixtiyoriy n 0  uchun  shunday n   =   2n 0  +  1  mavjudki, 
x n  =
  0  <  Д  boMadi.
Bu  misoldan  har  qanday  chegaralanmagan  ketma-ketlik  ham  cheksiz  katta 
ketma-ketlik boMavermasligi  kelib chiqadi.
2.49-teorema.
  Agar  {*„}  cheksiz katta ketma-ketlik  boMsa,  u  holda umumiy 
hadi 
a n  ~  —
 boMgan ketma-ketlik cheksiz kichik ketma-ketlik boMadi.
x n
Isbot. 
0  Aytaylik, 
e
 
yetarlicha  kichik  musbat  son  boMsin.  Teorema shartiga 
ko‘ra 
=   oo.  Demak,  shunday 
n 0  E  N
  son  topiladiki,  barcha  n  >   n 0  lar
uchun  |л:п |  >  
-
 boMadi.  Bundan.  |a n |  <  
<  
e
  tengsizlik  kelib  chiqadi.  Bu  esa,
e
 
l*nl
{an} ning cheksiz kichik ketma-ketlik  ekanligini  bildiradi.  ♦