T u r g u n b a y e V r I s k e L d I m u s a m a t o V ic h matematik analiz

2
.  Bolsano-Veyershtrass lemmasi
2.56-lemma. 
Ixtiyoriy 
chegaralangan 
ketma-ketlikdan 
har 
doim, 
yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik  ajratib olish mumkin.
Isbot. 
0  Aytaylik,  xi, 
x2,  x3,.  . 
x„,.  .
  .  chegaralangan  ketma-ketlik  boMsin. 
Demak,  uning  barcha  hadlari  tegishli  boMgan [ai;6 i]  segment  mavjud  boMadi.  Bu
. . . .  
. 
. 
. 
. 
a, + b. 
a.
 + 
b,
segmentm  teng  lkki  qismga  ajratamiz:  [a t;—^ 
],  [■■■»-  1 
,b{\.
  Hosil  boMgan
segmentlaming birida (yoki  ikkalasida ham)  ketma-ketlikning cheksiz ko‘p  hadlari 
bor  boMadi. 
Segmentlardan,  {*„}  ketma-ketliknmg  cheksiz  ko‘p  hadlari  borini 
(ikkalasida  ham  boMganda,  masalan,  chapdagsini) 
[a2,b2]
  orqali  belgilaymiz.  0 ‘z 
navbatida 
[a2;b2]
  segmentni  teng  ikki  qismga  ajratamiz.  {*„}  ketma-ketlikning 
cheksiz  ko‘p  hadlari  borini  [a3;63]  огЯа1‘  bdgilaymiz.  Va  xokazo,  shu jarayonni 
davom ettirib,  ichma-ich joylashgan  segmentltr ketma-ketligiga ega boMamiz:
[a\,b\],  [a2,b2],.
  .  .,  [,
an,b
n],.  ..
[an;b„]
 segmetning uzunligi 
bn  -  an
  =  
boMib, w-xxi da nolga intiladi.
51
Qismiy ketma-ketlik  limiti quyidagi  xossaga ega.

---

Ichma-ich joylashgan  segmentlar pnnsipiga ko‘ra 
{an}
  va 
{b„}
  ketma- 
ketliklar umumiy bir 
с
 limitga ega bo‘ladi,  ya’ni  lim 
an
  =   lim 
bn  —  c.
71-* CO