Т. А. Сливина математическая логика и теория алгоритмов

2. Теория групп.
Пусть теория Т содержит одну предикатную букву , одну функциональную букву и одну предметную константу а₁. Пользуясь принятыми в алгебре обозначениями, будем писать:
t = s вместо (t, s),
t + s вместо (t,s),
0 вместо а₁.
Специальными аксиомами теории Т здесь являются формулы:
а) – ассоциативность;
б) – свойство нуля;
в) – существование обратного элемента;
г) – рефлексивность равенства;
д) – симметричность равенства;
е) – транзитивность равенства;
ж) –
подстановочность равенства.
Всякая модель этой теории называется группой. Если в группе истинна формула , то группа называется абелевой или коммутативной. Примерами групп являются:

1. 
   множество всех взаимно однозначных отображений множества М на себя, рассматриваемое вместе с операцией суперпозиции отображений;
   
2. 
   множество Z всех целых чисел, рассматриваемое вместе с операцией сложения целых чисел;
   

з) множество V₂ всех векторов плоскости, рассматриваемое вместе с операцией сложения векторов по правилу треугольника или параллелограмма;

4. 
   пространство R₂ⁿ всех векторов n-мерного пространства с операцией сложения векторов, определяемой как покоординатное сложение;
   
5. 
   – пространство непрерывных на [a,b] функций с нормой и обычной операцией сложения.
   

Теория частичного упорядочения и теория групп являются эффективно аксиоматизированными, то есть имеется возможность для любой данной формулы эффективно выяснить, принадлежит ли она к числу логических аксиом.