Т. А. Сливина математическая логика и теория алгоритмов

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ

В алгебре высказываний и исчислении высказываний использование таблиц истинности давало достаточно эффективный способ решения вопроса о том, является ли данная формула тавтологией.

Ситуация принципиально меняется при переходе к логике предикатов. Здесь нет эффективного способа, позволяющего для каждой формулы решить вопрос о том, является ли она общезначимой. В связи с этим в математических теориях, которые используют понятие предиката и связанные с ним понятия кванторных операций, необходимым становится аксиоматический метод.
Имеются и другие доводы в пользу аксиоматического метода, и они состоят в следующем: аксиоматический метод базируется на простых отношениях между символами и выражениями точных формальных языков и использует достаточно простые арифметические методы. Это обстоятельство обеспечивает надежность аксиоматического метода.
В этой главе рассматривается сущность аксиоматического метода и те проблемы, которые возникают при его использовании.
Под аксиоматической теорией, построенной на основе данной системы аксиом, понимается совокупность всех теорем, доказываемых исходя из этой системы аксиом.
Аксиоматические теории делятся на формальные и неформальные.
Неформальные аксиоматические теории наполнены теоретико-множественным содержанием, понятие выводимости в них довольно расплывчато и в значительной степени опирается на здравый смысл.
Формальная аксиоматическая теория считается определенной, если выполнены следующие условия:
1. Задан язык теории.
2. Определено понятие формулы в этой теории.
3. Выделено некоторое множество формул, называемых аксиомами.
4. Определены правила вывода в этой теории.
Среди математических теорий выделяют теории первого порядка (элементарные теории). Они отличаются от теорий высших порядков тем, что не допускают в своем изложении предикаты, которые имеют в качестве возможных значений своих аргументов другие предикаты и функции. Кроме того, они не допускают кванторные операции по предикатам или функциям.
Теорий первого порядка достаточно для выражений большинства известных математических теорий.