Свойства функций непрерывных на отрезке Именно на отрезке проявляются преимущества свойства непрерывности функции

5. 2. Промежуточные значения непрерывной функции
Живя, умей всё пережить
Ф.И. Тютиев
TEOPEMA 6.2.1. (Больиано-Коии о нуле знакопеременной функиии) Если функиия непрерввна на отрезке и принимает в его кониах значения разных знаков, то суиествует точка , в которой бункиия обнуляется: (см. рис. 6.2).
ДОКАЗАТЕЛьСтво осуществляется методом дихотомии, который уже применялся (теорема БольцаноВейерштрасса о частичном пределе). Возьмем середину отрезка Если , то и доказательство завершено. Если , то из двух "половинок" и выберем ту, на концах которой функция принимает значения разных знаков. Переобозначим концы выбранно-
-ный отрезок делим пополам, возникает точка Или
, или из двух "половинок" и выберем ту, на концах которой функция принимает значения разных знаков. В peзультате, или на -ом шаге (и тогда теорема доказана), или возникает последовательность вложенных стягивающихся отрезков:
, длина при
По теореме 3.2.1 Кантора существует единственная точка , принадлежащая пересечению всех отрезков последовательности. Покажем, что Пусть, от противного, , например, Поскольку функция непрерывна в точке , то Согласно следствию об отделении от нуля, найдется такая -окрестность точки , что для всех точек из нее . Теперь выберем номер настолько большим, чтобы выполнялась оценка Тогда отрезок (и все последуюшие) окажется целиком в выбранной -окрестности. Для концов этого отрезка выполняются оценки: и А это противоречит тому, что на концах отрезка функция принимает значения разных знаков. Итак, При этом , поскольку (по условию) на концах функция отлична от нуля.
ЗАМЕчАниЕ 6.2.1. Лля разрывных функций теорема, очевидно, неверна. Приведите контрпример.
ЗАдАчА 6.2.1. Точка , которую мы получили методом дихотомии в доказательстве теоремы , единственная. Означает ли это, что на функция имеет единожды обнуляется? Если нет, то приведите пример.
ТЕОРЕМА 6.2.2. (о промежсуточных значениях) Если функиия непрерывна на отрезке , по для любого промелуточного значения уо, заключенного между и , сучествует число с , для которого (см. puc. 6.3).
ЛокАЗАТЕЛьство. Если или , то утверждение верно. В противном случае рассмотрим функцию Из условия теоремы следует, что непрерывная на функция принимает на концах значения разных знаков. Следовательно (по теореме ), существует точка , в которой , что равносильно .

Рис. 6.3. ТЕОРЕМА 6.2.3. (о непрерывном образе отрезка) Если функиия непрерывна на отрезке , то ее образом является отрезок , a\partiale (cM. puc. 6.1).
ДокАЗАтЕ ЛьСтво. Из теоремы (второй Вейерштрасса) следует, что существуют такие точки , что , Нам надо доказать, что Из определения инфимума и супремума следует, что образ Если , то функция есть константа , ее образом является вырожденный отрезок - точка, и теорема доказана. Если , то Пусть, для определенности, Рассмотрим функцию на отрезке По предыдущей теореме для любого найдется такая точка , что . Следовательно,