Свойства функций непрерывных на отрезке Именно на отрезке проявляются преимущества свойства непрерывности функции

9. 4. Компактификация и промежутки
Понятие компактности является одним из основных в современном анализе.
ОпРЕДЕЛЕниЕ 6.4.1. Подмножество числовой прямой называется (счетно) компактным, если из любой принадлежащей ему последовательности можно выделить сходящуюся в нем же подпоследовательность.
Из теоремы Больцано-Вейерштрасса и следствия (о переходе к пределу в неравенстве) следует, что отрезок является компактным. Контрпримеры показывают, что интервал или полуинтервал не являются таковыми (приведите контрпримеры). Компактность отрезка существенна в теоремах 6.1.1 и 6.1.2 Вейерштрасса.
Если интервал (или полуинтервал) ограниченный, то, включив в него его концы (т.е. превратив в отрезок), мы компактифицируем его. Компактифицируя всю числовую прямую, мы приходим к понятию расширенной прямой или к понятию проективной прямой (см. п. 1.5). На справедлива теорема 3.4.2 Больцано-Вейерштрасса; на ней любой промежуток можно компактифицировать (например, компактификацией луча является . В некоторых случаях удобно рассматривать функции с и со значениями в . Поскольку для символов введены понятия окрестности и порядок, то понятия предела и непрерывности функции в точках полностью определены как односторонние. Такой подход позволяет, например, дать другое доказательство теоремы об обратной функции. Поступим так: 1) на любом промежутке - конечном или бесконечном - компактифицируем область определения данной функции и повторим доказательство теоремы без изменений; 2) исключим из рассмотрения дополнительно введенные концы в области определения и их образы.
ПРимер 6.4.1. Забегая вперед, рассмотрим функцию на интервале . После компактификации получим функцию Обратная функция .
ЗАмЕчАниЕ На мы пользуемся только порядком и окрестностями точек; арифметические операции с символами не определяем.