|
NO`MALUM PARAMETRNI BAHOLASH ENG KICHIK KVADRATLAR USULLARI
Reja:
Statistik baholar va ularning xossalari Nuqtaviy baholash usullari Interval baholash
Faraz qilaylik, taqsimot funksiyasi noma`lum parametr ga bog`liq bo`lgan t.m. X berilgan bo`lsin. Boshqacha qilib aytganda, kuzatilayotgan t.m. X ning taqsimot funksiyasi f( ) bitta parametrli parametrik taqsimot funksiyalar oilasiga tegishli bo`lsin. Endi tajriba natijasida olingan ma`lumotlar yordamida noma`lum parametr ni “tiklash”, ya`ni ma`lum ma`noda unga yaqin bo`lgan va tajribalar asosida to`liq tiklanadigan biron-bir miqdorni tuzish masalasini ko`raylik. Θ orqali ning qiymatlari to‘plamini belgilaymiz.
Faraz qilaylik, X t.m.ning xajmi n ga teng bo`lgan tanlanmasi bo`lsin.
kuzatilmalarning ixtiyoriy funksiyasi statistika deyiladi.
Ta`rifdan kelib chiqadiki, statistika faqat kuzatilmalarga bog`liq bo`lgan tasodifiy miqdor bo`lib, u tajriba natijasida to`liq aniqlanadi.
Agar bo‘lsa, u holda statistika noma’lun parametr uchun baho deb ataladi.
Ta`rifdan kelib chiqadiki, bitta parametr uchun bir necha statistik baho taklif qilinishi mumkin. Shuning uchun, statistik baholardan ma`lum ma`noda “yaxshi” xossalarga ega bo`lishlari talab etiladi. Odatda har qanday statistik baholarning quyidagi xossalarga ega bo`lishligi maqsadga muvofiqdir.
Siljimagan baho
Agarda statistik bahoning matematik kutilmasi noma`lum parametrga teng, ya`ni
(1)
bo`lsa, statistik baho siljimagan baho deyiladi.
Agar statistik baho uchun bo`lsa, u siljigan baho deyiladi va -siljish kattaligi bo`ladi.
Noma`lum parametr X t.m.ning matematik kutilmasi va lar unga mos kuzatilmalar bo`lsin. Quyidagi statistikani kiritamiz
. (2)
Bu yerda -lar tenglikni qanoatlantiruvchi o`zgarmas sonlar. va demak, matematik kutilmani hisoblash qoidasidan
(3)
ega bo`lamiz. Bu tenglikdan (2) statistikaning noma`lum parametr uchun siljimagan baho ekanligi kelib chiqadi. Xususan, bo`lsa (2) dan statistikaga, agarda bo`lsa statistikaga ega bo`lamiz. (3) munosabat tenglik bajariladigan ixtiyoriy lar uchun to`g`ri bo`lganligidan va statistikalar ham noma`lum parametr uchun siljimagan baho ekanligi kelib chiqadi. Demak, bitta parametr uchun bir nechta siljimagan baho tuzish mumkin ekan. Bu xulosadan, tabiiy, siljimagan baholarni taqqoslash zaruriyati kelib chiqadi.
Optimal baho
Noma`lum parametr uchun siljimagan baholar to`plamini U bilan belgilaylik. Oldingi boblardan ma`lumki, t.m. dispersiyasi shu t.m.ning qiymatlari uning matematik kutilmasi atrofida qanchalik zich yoki tarqoq joylashganligining mezoni bo`ladi. Shuning uchun, tabiiy, siljimagan baholarni ularning dispersiyasiga ko`ra taqqoslaymiz.
Faraz qilaylik, ( ) va ( ) lar noma`lum parametr uchun siljimagan baholar bo`lsin, ( ) va ( ) . Agarda shu statistikalar uchun
( )< ( )
munosabat bajarilsa, ( ) baho ( ) bahodan aniqroq baho deyiladi.
Demak, bitta parametr uchun bir necha siljimagan baholar mavjud bo`lsa, uning statistik bahosi sifatida aniqroq bahoni qabul qilish maqsadga muvofiq bo`ladi. Yuqorida biz noma`lum matematik kutilma uchun ikkita siljimagan va -lardan iborat bo`lgan baholarni ko`rdik. Endi ularni taqqoslaylik. Dispersiyani hisoblash qoidasiga asosan:
(4)
va bo`ladi. yuqorida keltirilgan taqqoslash qoidasiga muvofiq, ko`rinib turibdiki baho bahoga nisbatan aniqroq bo`ladi.
Agar ( ) bo`lsa, - statistik baho optimal baho deyiladi.
Ko`rsatish mumkinki statistika noma`lum matematik kutilma uchun barcha siljimagan chiziqli baholar ichida eng aniq (optimal) bahodir.
Asosli baho
Agarda n cheksizlikka intilganda ( ) statistika ehtimol bo`yicha noma`lum parametr ga yaqinlashsa, ya`ni ixtiyoriy kichik >0 son uchun
{ < }=1
munosabat o‘rinli bo`lsa, u holda ( ) statistik baho asosli baho deyiladi.
Demak, asosli baho ( ) tajribalar soni ortib borganida noma`lum parametrga ehtimol bo`yicha yaqinlashar ekan. Odatda har qanday statistik bahodan asosli bo`lish talab etiladi. Matematik ststistikada asosli bo`lmagan baholar o`rganilmaydi.
1 – misol. Tanlanma o`rta qiymat noma`lum matematik qurilma ga asosli baho ekanligini ko`rsating.
Chebishev tengsizligiga va (3) munosabatga ixtiyoriy kichik >0 son uchun
{ } .
Oxirgi tengsizlikda dispersiya chekli bo`lsa, da limitga o`tsak, haqiqatan ham statistikaning asosli baholigi kelib chiqadi.
Umuman, ixtiyoriy siljimagan baho ( ) ning noma`lum parametrga asosli baho bo`lishlik shartini keltiramiz.
Teorema. Agar ( ) statistika parametr uchun siljimagan baho bo`lib, uning dispersiyasi bo`lsa, u holda u asosli baho bo`ladi.
Isbot. ( ) statistika siljimagan baho bo`lgani uchun ( ) . U holda ixtiyoriy >0 uchun Chebishev tengsizligidan quyidagi tengsizlikni yoza olamiz:
{ < } . (5)
Ammo, shartga ko`ra, ixtiyoriy tayinlangan >0 uchun da
Demak, (5) tengsizlikdan ( ) statistikaning asosli baho ekanligi kelib chiqadi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
