Statistik baholar va ularning xossalari Nuqtaviy baholash usullari

Interval baholash

Ishonchlilik oralig‘i
Oldingi paragraflarda biz noma’lum parametrlarning nuqtaviy statistik baholari bilan tanishdik. Tuzilgan nuqtaviy baholar tanlanmaning aniq funksiyalari bo‘lgan t.m. bo‘lib, ular noma’lum parametrlarning asl qiymatiga yaqin bo‘lgan nuqtani aniqlab beradi xolos. Ko‘p masalalarda noma’lum parametrlarni statistik baholash bilan birgalikda bu bahoning aniqligini, ishonchliligini topish talab etiladi. Matematik statistikada statistik baholarning aniqligini topish ishonchlilik oralig‘i va unga mos ishonchlilik ehtimolligi orqali hal etiladi.
Faraz qilaylik, tanlanma yordamida noma’lum θ parametr uchun siljimagan T( ) baho tuzilgan bo‘lsin. Tabiiyki │T( ) – θ│ ifoda noma’lum θ parametr bahosining aniqlik darajasini belgilaydi. T( ) statistik bahoning noma’lum θ parametrga qanchalik yaqinligini aniqlash masalasi qo‘yilsin. Oldindan biron-bir β (0<β<1)- sonni 1 ga yetarlicha yaqin tanlab qo‘yaylik. Endi quyidagi

Ρ{│ T( ) – θ │<δ}=β

munosabat o‘rinli bo‘ladigan δ>0 sonini topish lozim bo‘lsin. Bu munosabatni boshqa ko‘rinishda yozamiz

P{T( )–δ<θ< T( )+δ}=β (3.1)

(3.1) tenglik noma’lum θ parametrning qiymati β ehtimollik bilan

℮_β =( T( )–δ ; T( )+δ ) (3.2)

oraliqda ekanligini anglatadi.

Shuni aytish joizki, (3.2) dagi ℮_β – oraliq tasodifiy miqdorlardan iborat chegaralarga ega. Shuning uchun, β – ehtimollikni noma’lum θ parametrning aniq qiymati ℮_β – oraliqda yotish ehtimoli deb emas, balki ℮_β – oraliq θ nuqtani o‘z ichiga olish ehtimoli deb talqin qilish to‘g‘ri bo‘ladi (37 – rasm).

℮_β

• • •
T( )–δ θ T( )+δ

37 – rasm.

• 
  Demak, aniqlangan ℮_β oralig‘i ishonchlilik oralig‘i, β – ehtimol esa ishonchlilik ehtimoli deyiladi.
  

Matematik kutilma uchun ishonchlilik oralig‘i

Faraz qilaylik, X tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi θ va dispersiyasi σ ² bo‘lsin. Noma’lum θ – parametr uchun ishonchlilik ehtimoli β – ga teng bo‘lgan ℮_β – ishonchlilik oralig‘ini tuzish masalasini qaraylik.

X₁, …, X_n – hajmi n – ga teng bo‘lgan tanlanma va unga mos tanlanma o‘rta qiymati va dispersiyasini tuzaylik:


, .

Eslatib o‘tamiz, – bir xil taqsimlangan, bog‘liqsiz tasodifiy miqdorlar yig‘indisidantuzilgandir. Shuning uchun, markaziy limit teoremaga asosan uning taqsimot funksiyasi normal qonunga yaqindir. ning matematik kutilmasini va dispersiyasini hisoblaymiz:

,
Endi δ _β >0 sonni shunday topaylikki, u uchun quyidagi munosabat o‘rinli bo‘lsin:
. (3.3)

- t.m.ning taqsimot funksiyasi normal qonunga yaqinligini hisobga olib, (3.3) – tengsizlikning o‘ng tomondagi β – sonini Laplas funksiyasi bilan bog‘laymiz:

. (3.4)

Bu yerda - o‘rta kvadratik chetlanish.

Laplas funksiyasining Φ(-x) = 1–Φ(x) xossasini inobatga olsak, (3.4) - tenglikni quyidagicha yozish mumkin:


(3.5)

(3.3) va (3.5) tengliklardan quyidagini hosil qilamiz:

.

Oxirgi tenglikdan δ_β ni aniqlaymiz:

(3.6)

Bu yerda Φ^-1(x) orqali Laplas funksiyasiga teskari funksiyani belgiladik. (3.6) – tenglik bilan aniqlangan δ_β – soni noma’lum miqdor orqali yoziladi. Yetarli katta n lar uchun tanlanma dispersiya S² nazariy dispersiyaga yaqin bo‘lgani uchun ni taqriban ga teng deyish mumkin, ya’ni

Shunday qilib, noma’lum o‘rta qiymat θ – uchun β – ishonchlilik ehtimoliga teng ℮_β – ishonchlilik oralig‘i


℮_β= (3.7)

ga teng bo‘ladi. Bu yerda .

4 -misol. X t.m.ning tajriba natijasida 20 ta qiymati olindi.