Sonlar nazariyasidan misol va masalalar

IV.1-§. 
 
248. 
a).  Bu  holda 
   moduli  bo‘yicha  chegirmalarning  to‘la  sistemasi          
dan iborat. Bu sonlarni berilgan taqqoslama qo‘yib sinab ko‘ramiz va 
 
 
      
 
     
larning uni qanoatlantirishiga ishonch hosil qilamiz. Demak, berilgan taqqoslamaning 
yechimlari 
                            yoki buni                   va        
        ko‘rinishda yozishimiz mumkin. 
b). 
   moduli  bo‘yicha  chegirmalarning  to‘la  sistemasi             .  Bu  sonlarni 
berilgan  taqqoslamaga  qo‘ysak,  ulardan 
 
 
       
 
     lar    uni qanoatlantirishini 
ko‘ramiz.  Shuning  uchun  ham  yechimlar
                                 lardan 
iborat. Javob 
                  va                  
c). 
   moduli  bo‘yicha  chegirmalarning  to‘la  sistemasi        lardan  iborat. 
Bularning  birortasi  ham  berilgan  taqqoslamani  qanoatlantirmaydi.  Demak, 
taqqoslama yechimga ega emas. 
d). 
   moduli  bo‘yicha  chegirmalarning  to‘la  sistemasi             lardan  iborat. 
Bularni  berilgan  taqqoslamaga  qo‘yib  sinab  ko‘rsak, 
 
 
     uni  qanoatlantiradi. 
Demak, javob 
             ya‘ni                  
e). 
   moduli bo‘yicha chegirmalarning to‘la sistemasi                lardan iborat. 
Bularni  taqqoslamaga  bevosita  olib  borib  qo‘ysak, 
 
 
       
 
     lar  uni 
qanoatlantiradi. Javob: 
                             
f).
    moduli  bo‘yicha  manfiy  bo‘lmagan  eng  kichik  chegirmalarning  to‘la 
sistemasi 
                                                    lardan  iborat.  Bularni  berilgan 
taqqoslamaga  qo‘yib  sinab  ko‘rib, 
 
 
      ning  uni  qanoatlantirishini  topamiz. 
Demak, 
             , ya‘ni                   berilgan taqqoslamaning yechimi. 
Izoh.  Bu  holda 
                    larning  barchasi  emas,  balki           shartni 
qanoatlantiruvchilari
                       ni ham tekshirish kifoya bo‘ladi. 
        moduli boyicha chеgirmalarning to‘la sistеmasini, tеkshirish qulay bo‘lishi 
uchun uni absolyut  qiymati  jihatidan eng kichik chеgirmalar sistеmasi ko‘rinishida  
                 yozib  olamiz.  Bеrilgan  taqqoslamaga  bu  sonlarni  qo‘yib  tеkshirsak, 
faqat 
   uni  qanoatlantiradi,  dеmaк               bеrilgan  taqqoslamaning  yagona 
yеchimi. 
250.  Bu  yеrda 
   moduli  bo‘yicha  absolyut  qiymati  jihatidan  eng  kichik 
chеgirmalarning  to‘la  sistеmasi 
       dan  iborat,  lеkin  bularning  birortasi  ham 

---

 
 
145 
 
bеrilgan  taqqoslamani  qanoatlantirmaydi,  ya'ni  bеrilgan  taqqoslama  yеchimga  ega 
emas. 
251.a).  Avvalo  koeffitsiyentlarini  berilgan  15  moduli  bo‘yicha  bo‘yicha  absolyut 
qiymati  jihatidan  eng  kichik  chegirmalar  bilan  almashtiramiz.  Bunda
             
                                             bo‘lgani  uchun  berilgan  taqqoslama   
 
 
                   taqqoslamaga  teng  kuchli.  Endi      moduli  bo‘yicha 
chegirmalarning to‘la sistemasi 
                              larni qo‘yib, tekshirib 
ko‘ramiz.  U  holda 
 
 
       ning  berilgan  taqqoslamani  qanoatlantiradi.  Demak, 
berilgan taqqoslamaning yechimi 
                   
b). 
Bunda 
               ,               ,               ,             
 bo‘lgani uchun berilgan taqqoslama   
 
                    taqqoslamaga teng 
kuchli.Endi 
   
moduli 
bo‘yicha 
chegirmalarning 
to‘la 
sistemasi 
                                                            Bularning  birortasi  ham 
berilgan taqqoslamani qanoatlantirmaydi.  Taqqoslamaning yechimi yo‘q. 
Izoh.  Buni  quyidagicha  izohlash  ham  mumkin.
   
 
                    
taqqoslama 
{
  
 
                  
  
 
                  
 
ga  teng  kuchli.  Bu  yerda  birinchi  taqqoslama  1
          ziddiyatli taqqoslama 
bo‘lgani uchun sistema va demak, berilgan taqqoslama ham yechimga ega emas. 
c).
                                                          
                                           . 
Yechimlar 
                
                      ,ya‘ni                                           
d).
  
 
    
 
                       
 
    
 
                       
        larni  qo‘yib  tekshiramiz.  U  holda  bularning  birortasi  ham  bu  taqqoslamani 
qanoatlantirmaydi va berilgan taqqoslama yechimga ega emas. 
252.  Bunda 
                                                        bo‘lganligi  uchun 
koeffitsiyentlarini  absolyut  qiymati  jihatidan  eng  kichik  chegirmalar  bilan 
almashtirib, 
 
 
              ni hosil qilamiz.  Ferma teoremasiga ko‘ra  p tub son 
bo‘lganda     
 
 
               bajariladi.  Bizda  p= ,  ya‘ni  oxirgi  taqqoslama  va 
demak, berilgan taqqoslama ham ayni taqqoslama. Shuning uchun ham noma‘lum 
  
ning  barcha butun qiymatlari berilgan taqqoslamani qanoatlantiradi. 
253.  a).
 
 
                 .  Bunda  Ferma  teoremasiga  ko‘ra   
 
     
         va    ⋮  .  Shuning  uchun  berilgan  taqqoslama     ning  ixtiyoriy  butun 
qiymatida o‘rinli. 
b). 
   
 
              .  Bu  taqqoslamani                              
ko‘rinishda  yozib  olish  mumkun  .  Bu  yerda  chap  tomondagi  ifoda  uchta  ketma-ket 

---

 
 
146 
 
sonlarning  ko‘paytmasi  sifatida 
   ga  bo‘linadi,  ya‘ni  berilgan  taqqoslama     ning 
ixtiyoriy butun qiymatida o‘rinli. 
c). 
   
 
   
 
     
 
                  .  Bunda  koeffitsiyentlarni  absolyut 
qiymat  jihatdan  eng  kichik  chegirmalar  bilan  almashtirib  soddalashtiramiz.U  holda 
 
 
              ayniy taqqoslamaga ega bo‘lamiz. 
d).
  
  
     
  
                  
  
                
Bu 
taqqoslama 
  ning ixtiyoriy butun qiymatlarida bajariladigan ayniy taqqoslama.