Sonlar nazariyasidan misol va masalalar

 
Izoh. 
 
   
   
   
   
   
      
   
               
   
        dan 
foydalanib ham shu  natijani   olish mumkin. 
230.  
                  bo‘lganligi uchun    
   
               
   
 
  
   
       . Bu yerda              va Eyler teoremasiga asosan   
     
 
          yoki    
  
           .    Bundan   
   
     
  
 
 
    
  
        
    
  
             
 
 
 
    
 
              
 
                   
 
 
 
 
                     . Shunday qilib     
   
 ni 
   ga bo‘lgandagi qoldiq    
chiqar ekan. 
231.  
 
  
            va   
  
          . Bulardan   
 
  
            va  
  
          . Bu yerdagi birinchi taqqoslamaga asosan 
  
  
 
  
   
  
            
 
 
 
                 
 
                  
 
 
 
 
            
 
                                     ya‘ni            
                                       
  
  
 
  
          .                                              (3) 
Endi  
 
  
             taqqoslamadan    
  
 
  
   
  
            
  
 
 
 
                        ya‘ni   
                                        
  
 
  
          .                                               (4) 
(3) va (4) taqqoslamalardan  
  
  
 
  
                 yoki bundan   
   
 
          bu yerda            . 
232. 
 
  
          , 
  
    
  
 
 
          ,  …  ,    
  
              Bu 
yerda   
                  bo‘lsa,   
  
         )      ekanligidan  foydalandik.  Bundan 
 
  
   
  
        
  
                        kelib chiqadi. 
233. a) 
 
 
             dan  
 
                 .  Demak, biz  
 
         ,  
 
 
          va  
 
            taqqoslamalarning ixtiyoriy   butun soni uchun 
o‘rinli  ekanligini  ko‘rsatishimiz  kerak.  Birinchi  taqqoslama  Ferma  teoremasidan 
bevosita  kelib  chiqadi.    2-  va  3-  larni  bevosita  chegirmalarning  to‘la  sistemasini 
tekshirib ko‘rish bilan ishonch hosil qilamiz. 2 moduli bo‘yicha chegirmalarning to‘la 
sistemasi  0  va  1  dan  iborat  va  bularning  ikkalasi  ham 
 
 
          taqqoslamani 
qanoatlantiradi. 3 moduli bo‘yicha  chegirmalarning to‘la sistemasi 
      dan  iborat 
va bularning uchalasi ham   
 
 
          taqqoslamani qanoatlantiradi.  
b) 
 
  
              dan     
  
                           .  Bu  yerdan   
  
 
        , (Ferma teoremasiga ko‘ra);   
  
            (0,1 ni qo‘yib tekshirsak);  
 
 
               dan         
  
    
 
 
 
       
 
   
 
   
 
          
 
        

---

 
 
141 
 
       .   
  
             va     
  
             lar  ham  shunga  o‘xshash 
isbotlanadi.  Endi  hosil  bo‘lgan 
 
  
         ,   
  
         ,   
  
         , 
 
  
           va   
  
                taqqoslamalarning  ixtiyoriy       butun  son 
uchun  o‘rinli  ekanligidan 
 
  
                             ning,    yoki  bundan   
  
 
           ning o‘rinli ekanligi kelib chiqadi. 
234. 
   va     lar                shartni  qanoatlantiruvchi  tub  sonlar  bo‘lgani  uchun   
 
   
           va       
   
         .  Bu  taqqoslamalarni  tenglik  qilib  yozsak,  
 
   
        ,   
   
                          Bulardan  
  
   
      
   
                yoki    
   
   
   
   
   
   
   
              
Endi taqqoslama qilib yozsak
   
   
   
   
   
   
   
   
                  
Bundan 
 
   
   
   
           kelib chiqadi. 
235. 
 
   
      sonining  oxirgi  ikkita  raqamini  topish  uchun    uni  100  ga  bo‘lishdan 
chiqqan 
qoldiqni 
topish 
kifoya. 
Bu 
yerda 
                                    
 
    
     
            
ya‘ni 
 
  
 
            hamda   
   
   
  
   
 
  bo‘lgani  uchun   
 
  
   
  
   
  
         
 
  
            
 
 
 
                                   Buni  tenglik  qilib 
yozsak,   
 
  
          . Bu tenglikni ikkala tomonini 4 ga ko‘paytirib, taqqoslama 
ko‘rinishida  yozamiz.  U  holda 
 
   
             yoki     
   
             . 
Demak, 
 
   
 ning oxirgi raqami ikkita raqam  7 va 6. 
236. Berilgan  sonning oxirgi raqamini topish uchun uni 10 ga bo‘lishdan chiqqan 
qoldiqni topish kifoya.  
         va Eyler teoremasiga ko‘ra    
     
          . 
Bunda 
                                                       bo‘lganligi sababli 
 
 
            bo‘ladi.    Shuning  uchun  ham   
   
    
 
 
  
   
  
          . 
Demak,
  
   
 sonining oxirgi raqami 1 ga teng bo‘lar ekan. 
237. 
   
   
   sonining oxirgi uchta raqamini topish uchun uni 1000 ga bo‘lishdan 
chiqqan  qoldiqni  topish  kerak  bo‘ladi. 
       
 
, 
         
 
   
 
   
 
  bo‘lgani 
uchun   
                 va Eyler teoremasiga asosan     
       
              
bajariladi.  Bu  yerda 
             
 
   
 
       
 
       
 
      
 
   
 
   
 
 
 
 
                     bo‘lgani uchun    
   
             . Shuning uchun ham 
   
   
     
   
     
 
     
 
          
                              . Demak, uchta raqami 0,4,9. 
238.  Shartga  asosan   
          .  Bundan              va                    bo‘lgani 
uchun  u  toq  son       
          ,  u  holda     
 
                                
                            ifoda   ga bo‘linadi , ya‘ni  
 
              yoki 
bundan 
 
 
         .                                                            (5) 
Ikkinchi tomondan  
            bo‘lgani uchun Ferma teoremasiga asosan 
           
 
                                                                                (6) 

---

 
 
142 
 
Hamda  
           bo‘lgani uchun   (5)  va (6)  dan  
 
             kelib 
chiqadi. 
239. Ferma teoremasiga ko‘ra : 
 
   
         ,  
   
         , ... ,     
  
   
           Bunda  - tub son . Bu taqqoslamaning har birini            
darajaga ko‘tarib keyin hadlab qo‘shamiz . U holda  
 
      
   
      
             
      
              
hosil bo‘ladi.  Bundan   
 
      
   
      
             
      
             . 
Buni qisqacha 
∑  
      
   
   
              
ko‘rinishda yozishimiz mumkin. 
240.  Ma‘lumki, 
 
 
             . Shunga asosan   
 
   
 
       
 
 
 
 
 
 
   
 
       
 
        Bu yerda  
 
   
 
 
      ,  
 
   
 
 
       ,...  
 
 
 
 
 
         ekanligini e‘tiborga olsak :    
 
   
 
       
 
 
 
   
 
 
   
 
 
     
 
 
 
       ga, ya‘ni isbotlanishi kerak bo‘lgan taqqoslama  ∑
 
 
 
   
 
 
  ∑
 
 
 
 
   
  
(modp)  ga ega  bo‘lamiz. 
241.  Eyler  teoremasiga  asosan 
            bo‘lsa  ,   
    
           bo‘ladi. 
Endi faraz etaylik 
  soni  
 
          taqqoslamaning eng kichik yechimi bo‘lib,    
                                  bo‘lsin,  u  holda   
    
    
 
 
 
   
 
     
 
 
                ,   ya‘ni  
 
         . Bu esa   soni   
 
 
           taqqoslamaning  eng  kichik  yechimi  deganimizga  zid.  Demak, 
      va               ya‘ni   soni      ning bo‘luvchisi. 
242. Ferma teoremasiga asosan 
          
 
 
   
 
       va   
 
 
   
 
       ,  
 
 
   
 
                        (7) 
Keyingi  ikkita  taqqoslamaning  o‘rinli  ekanligini  bevosita  chegirmalarning  to‘la 
sistemasini qo‘yib, tekshirib ko‘rish mumkin. Bulardan  
 
 
 
   
 
        
                    
Bu taqqoslamalarni hadlab qo‘shsak, 
∑
 
 
 
 
   
  ∑
 
 
       
 
   
, 
ya‘ni 
            .  Bundan,  agar     soni       bo'linsa,     ning  ham      ga 
bo‘linishi kelib chiqadi. 
Izoh.(7) taqqoslamalar 
 
 
 
   
 
       ga teng kuchli bu taqqoslamani  
 
 
 
   
 
   
 
  
 
 
        
 
  
 
      
 
    ( 
 
 
   )      
    
 
     
 
  
 
    ( 
 
 
   )        
Bunda 
  
 
     
 
  
 
               bo‘lganligi uchun  
 
 
   
 
             
bajariladi. 

---

 
 
143 
 
243.  Agar 
  soni   ga karrali bo‘lsa,        va  
   
      
   
   
   
   
   
 
         . Agarda            bo‘lsa, u holda Eyler teoremasiga asosan  
      
 
         .  Bundan       
      
   
   
 
 
   
 
 
  
 
   
   
               Demak, 
agar 
  butun soni   ga karrali bo‘lsa,  
   
 ni 
    ga bo‘lishdan chiqqan qoldiq   ga 
teng, aks holda qoldiq 
  ga teng bo‘lar ekan. 
244. Masalaning shartiga ko‘ra 
             Bu esa            va            larga 
teng kuchli. Agar 
           bo‘lsa, 24-masalaga asosan  
                                
   
             .                                                      (8) 
Ikkinchi  tomondan  esa  Eyler  teoremasiga  asosan 
 
    
         .  Bundan 
 
 
         .  Bu  taqqoslamaning  ikkala  tomonini      darajaga  ko‘taramiz,  u 
holda  
                                  
   
                                                                      (9) 
 taqqoslama  hosil  bo‘ladi.  (8)  va  (9)  dan 
                bo‘lgani  uchun     
   
 
             ni  hosil  qilamiz.  Bu  oxirgi  taqqoslamaning  ikkala  tomonini 
   darajaga ko‘taramiz va keyin ikkala tomonini   ga ko‘paytirsak,  
 
      
              
ga ega bo‘lamiz . 
245. 
   soni     ga  bo‘linmasa,  u  holda              bo‘ladi  va   
 
           
bo‘ladi.  Bu  taqqoslamani  avval 
   darajaga  keyin  eas     darajaga  ko‘taramiz.  U 
holda 
 
  
              va   
  
            larga  ega  bo‘lamiz.  Bularni  hadlab 
qo‘shsak, 
 
  
   
  
            ni  hosil  qilamiz.  Ya‘ni  agar     soni     ga 
bo‘linmasa 
 
  
   
  
      ni 
   ga  bo‘lsak,     qldiq  qolar  ekan.  Endi    ⋮    bo‘lsin.  U 
holda 
 
  
⋮    va  
  
⋮    bajariladi. Bundan   
  
   
  
  ⋮7,  ya‘ni      
  
   
  
 
       . 
246. Bu yerda 
      chunki,  agarda          bo‘lsa,  
  
               
bo‘lishi kerak.Lekin bu yerda ikkinchi qo‘shiluvchi 
   ga bo‘linmaydi. Berilgan 
taqqoslamani quyidagicha yozib olamiz: 
 
 
 
        
 
 
            ( 
 
 
  
   )           
   
 
   
            
        
 
             
 
Ferma  teoremasiga  asosan 
 
   
             .  Bu  yerda    
   
 
   
      
soni   
 
   
     ga  karrali  bo‘lganligi  uchun     
   
 
   
        soni     ga  bo‘linadi. 
Demak, 
  ham   ga bo‘linishi kerak. Bundan       yoki       . Agar       bo‘lsa, 
u  holda   
 
  
       
 
                  
 
 ,  agarda         bo‘lsa,  u  holda  
 
  
       
 
                      
 
 .  Shunday  qilib  izlanayotgan  son     
  ekan . 
247. Masalaning sharti bo‘yicha 
  va         lar tub sonlar. Shuning uchun ham 
Ferma  teoremasiga  ko‘ra   
       
 
             va   
 
         .  Ikkinchi 

---

 
 
144 
 
taqqoslamani 
  ga  ko‘paytirib    
 
             birinchisidan  ayiramiz,  u  holda 
  
 
             
 
               yoki                     .  Bundan      
           .  Demak,          soni     dan  katta  va     ga  bo‘linadi.  Shuning  uchun 
ham u murakkab son.