Skalyar maydon. Skalyar maydonning sath chiziqlari va sirtlari, yo’nalish bo’yicha hosila. Ta’rif

Vektor maydondagi chiziqli integral. Kuch maydoni bajargan ish.

Vektor maydoni sirkulyatsiyasi.

Ta’rif. Yo‘nalgan chiziq bo‘yicha olingan ushbu

ikkinchi tur egri chiziqli integral yoki vektor shaklidagi

integral vektorning chiziq bo‘yicha olingan chiziqli integrali deyiladi

Ta’rif. Yopiq kontur bo‘yicha chiziqli integral vektor sirkulyatsiyasi deyiladi va harfi bilan belgilanadi, ya’ni

Stoks formulasi.

Teorema. Agar funksiyalar o‘zlarining birinchi tartibli xususiy hosilalari bilan birga sohada uzluksiz bo‘lsa, u holda quyidagi formula o‘rinli bo‘ladi:

formula Stoks formulasi deyiladi.

Vektor maydon uyurmasi.

fazoning sohasida quyidagi vektor maydon berilgan bo‘lsin:

Ta’rif. vektor maydonning uyurmasi (yoki rotori) deb nuqtaning bilan belgilanadigan va

formula bilan aniqlanadigan vektor maydoniga aytiladi, bunda xususiy hosilalarni nuqtada topamiz.

Uyurmaning ta’rifidan foydalanib, quyidagi xossalarning to‘g‘ri ekaniga ishonch hosil qilish mumkin:

bunda o‘zgarmas skalyar;

bunda skalyar

Ta’rif. Vektor maydon uyurmasi deb, shunday vektorga aytiladiki, uning biror yo‘nalishga bo‘lgan proeksiyasi shu yo‘nalishga perpindikulyar bo‘lgan yassi yuzning kontur bo‘yicha bektor maydon sirkulyatsiyasining yuzning kattaligiga nisbatiga teng, bunda yuzning o‘lchamlari nolga intiladi (), yuzning o‘zi esa nuqtaga tortiladi.

Ostrogradskiy teoremasi. yopiq sirt orqali oqim sirt bilan chegaralangan soha bo’yicha olingan biror uch karrali integral yordamida hisoblanishi mumkinligini ko’rsatamiz.

Teorema. Agar funksiyalar hajimli chegaralangan yopiq sohada o’zlarning birinchi tartibli xususiy hosilalarni bilan birgalikda uzluksiz bo’lsa,u holda

Formula o’rinli, bu yerda sohaning chegarasi, shu bilan birga oqim bu sirtning tashqi tomoni bo’yicha olinadi.(ya’ni birlik normal vektor hajmdan tashqari yo’nalgan).

tenglik Ostrogradskiy formulasi deyiladi.

Potensial maydon. Potensiallik shartlari.

Ta’rif. Agar

vektor maydonning uyurmasi sohaning hamma nuqtalarida nolga teng bo‘lsa, bu maydon shu sohada potensial (yoki gradientli, uyurmasiz) maydon deyiladi.

Potensial maydonning ta’rifiga ko‘ra maydonning har bir nuqtasi uchun

bo‘ladi, ya’ni quyidagi ayniyatlar o‘rinli bo‘ladi:

Shuning uchun ayniyatlarning bajarilishi vektor maydonning potensialligi sharti bo‘ladi.

Ta’rif. Gradienti skalyar maydonni vujudga keltiruvchi skalyar funksiya shu vektor maydonning potensial funksiyasi (yoki potensiali) deyiladi.

Shunday qilib, potensial maydon

munosabat bilan ifodalanadi, bunda

bo‘lib, shu bilan birga yoki