Skalyar maydon. Skalyar maydonning sath chiziqlari va sirtlari, yo’nalish bo’yicha hosila. Ta’rif

Sirt orqali o‘tadigan vektor maydon oqimi. Uning tezliklar

maydonidagi fizik ma’nosi.

Ta’rif. vektorning sirt orqali o‘tuvchi oqimi deb quyidagi ikkinchi tur integraliga aytiladi:

(8) formulani

ko‘rinishda yoki yanada soddaroq

ko‘rinishda yozish mumkin, chunki Bu yerda ifoda sirt yuzining elementi.

Vektor maydonning yopiq sirt bo‘yicha oqimini hajm

bo‘yicha olingan integral orqali ifodalash haqidagi

Ostogradskiy teoremasi.

Yopiq sirt bo‘yicha olingan sirt integrali (vektor maydon oqimi) hamda shu sirt bilan chegaralangan fazoviy soha bo‘yicha olingan uch karrali integral orasidagi bog‘lanishni aniqlaymiz.

Teorema. Agar \

vektor maydon proeksiyalari sohada o‘zining birinchi tartibli xususiy hosilasi bilan birga uzluksiz bo‘lsa, u holda yopiq sirt orqali vektor oqimini shu sirt bilan chegaralangan hajm bo‘yicha uch karrali integralni quyidagi formula bo‘yicha shakl almashtirish mumkin:

bu yerda integrallash sirtning tashqi tomoni bo‘yicha amalga oshiriladi (sirtga o‘tkazilgan normal fazoning tashqi qismiga yo‘nalgan).

formula Ostogradskiy formulasi deyiladi.

Ta’rif. vektorning sirt orqali o‘tuvchi oqimi deb quyidagi ikkinchi tur integraliga aytiladi:

formulani

ko‘rinishda yoki yanada soddaroq

Vektor maydonning yopiq sirt bo‘yicha oqimini hajm bo‘yicha olingan integral orqali ifodalash haqidagi Ostogradskiy teoremasi.

Teorema. Agar

vektor maydon proeksiyalari sohada o‘zining birinchi tartibli xususiy hosilasi bilan birga uzluksiz bo‘lsa, u holda yopiq sirt orqali vektor oqimini shu sirt bilan chegaralangan hajm bo‘yicha uch karrali integralni quyidagi formula bo‘yicha shakl almashtirish mumkin:

bu yerda integrallash sirtning tashqi tomoni bo‘yicha amalga oshiriladi (sirtga o‘tkazilgan normal fazoning tashqi qismiga yo‘nalgan).

formula Ostogradskiy formulasi deyiladi.

Ta’rif. vektor maydonning diverginsiyasi (uzoqlashuvchisi) deb nuqtaning skalyar maydoniga aytiladi, u ko‘rinishda yoiladi va

formula bilan aniqlanadi, bu yerda xususiy hosilalar nuqtada hisoblanadi.

Divergensiyadan foydalanib, Ostogradskiyning formulasini vektor shaklida qayta yozish mumkin:

Divergensiyani hisoblashda quyidagi xossalardan foydalaniladi

bu yerda skalyar maydonni aniqlovchi funksiya.

Ta’rif. nuqtada vektor maydonning divergensiyasi deb, nuqtani o‘rab olgan yopiq sirt orqali o‘tuvchi maydon oqimining shu sirt bilan chegaralangan qismning hajmiga nisbatining bu hajm nuqtaga tortilgandagi, ya’ni dagi limitiga aytiladi.

Ta’rif. vektor maydonning divergensiyasi sohaning har bir nuqtasida nolga teng bo‘lsa, ya’ni

bo‘lsa, bu vektor maydon shu sohada solenoidli (yoki naychasimon) maydon deyiladi.