Skalyar maydon. Sath sirti va sath chizigʻi

2. Stoks formulasi

Quyida keltiriladigan formula S sirt boʻyicha sirt integralini bu sirtni chegaralovchi L yopiq chiziq boʻyicha ikkinchi tur egri chiziqli integralni hisoblashga keltirishga imkon beradi.

Teorema. Agar , , funksiyalar oʻzlarining birinchi tartibli xususiy hosilalari bilan birga S sohada uzluksiz boʻlsa, u holda quyidagi formula oʻrinli boʻladi:



(12.8)

Bu (12.8) tenglik Stoks formulasi deyiladi. Xususan, agar L yopiq chiziq tekislikda berilgan boʻlsa, Stoks formulasi Grin formulasiga oʻtadi.

2-misol. Ushbu vektor maydonning tekislikning koordinata tekisliklari bilan kesishish chizigʻi boʻyicha sirkulyatsiyasini Stoks formulasi yordamida hisoblang.

Yechish. L yopiq chiziq 1-shakldagi uchburchak konturi, ya’ni ABCA. Berilishiga koʻra,

,

xususiy hosilalarini topamiz:

.

Bu ifodalarni (12.8) Stoks formulasiga qoʻyamiz:

Bu yerda berilgan ABC uchburchak sirtini mos ravishda Oyz, Oxz, Oxy tekisliklardagi proyeksiyalarini aniqlaymiz va sirt integralini ikki karrali integralga olib kelib hisoblaymiz.

1. 
   
   

2. 
   
   

3. 
   
   

Topilganlarni jamlab quyidagini aniqlaymiz:

.