Система автоматического управления бесцентрово-шлифовального станка

Определение передаточных функций элементов САУ

3.1 Электронный усилитель описывается дифференциальным уравнением:

где Т_эу – постоянная времени электронного усилителя;
- выходное напряжение;
- входное напряжение;
К_эу – коэффициент усиления.

Передаточная функция:

2. 
   Тиристорный усилитель-преобразователь описывается дифференциальным уравнением:
   

Где Т_ТП – постоянная выхода тиристорного преобразователя;
U_ВЫХ - выходное напряжения;
U_ВХ – входное напряжение;
К_ТП – коэффициент передачи;
Передаточная функция:

_{ };
3.3 Электродвигатель постоянного тока описывается дифференциальным уравнением:
;
где Т_Я - электромагнитная постоянная времени якоря;
Т_М – электромеханическая постоянная двигателя;
ω – угловая скорость; выходная величина;
К_g - величина, обратная коэффициенту пропорциональности между обратной ЭДС и угловой скоростью;
U_g – напряжение якоря. Входная величина.
Передаточная функция:
;
3.4 Механический редуктор описывается дифференциальным уравнением:

Передаточная функция:
;
3.5 Процесс резания

где Р – силовой параметр процессов резания;
Т_р – постоянная времени стружкообразования;
А – регулируемый параметр процесса;
k – коэффициент пропорциональности;

Передаточная функция:
;

3.6 Эквивалентная упругая система станка описывается дифференциальным уравнением:

где - собственная частота колебаний;
- коэффициент затухания колебаний;
- деформация упругой системы станка;
С – жесткость упругой системы станка;

Р_вх – входной силовой параметр.
Передаточная функция:
_{Поскольку свободная частота колебаний равна бесконечности, а мы знаем если 1делить на бесконечность да ещё и в квадрате число получится очень маленькое, поэтому собственную}
;

3.7 Преобразователь перемещения описывается дифференциальным уравнением:

где U_вых – выходное напряжение преобразователя;
К_п – коэффициент передачи;
S_вх – входное перемещение.

Передаточная функция: =K_П

;

3. 
   Структурная схема САУ
   

Рисунок 3. Структурная схема САУ копировального фрезерного станка

3. 
   Определение устойчивости заданной САУ
   

Общая передаточная функция разомкнутой САУ

Подставив цифровые значения получим:

Выполнив алгебраические преобразования, получим:




Раскрыв скобки, получим выражение передаточной функции в виде отношения полиномов:

Найдем частотную передаточную функцию разомкнутой системы
, где .

Умножив на сопряженное число получим:




Расчитаем полиномы частотной передаточной функчии. Данные сведены в таблицу 1
Таблица 1. Расчёт полинома частотной передаточной функции.

ω	Re числитель	Jm числитель	знаменатель	U(ω)	V(ω)
0	40000000000	0	4,9E+11	0,081633	0
5	-1,246E+13	-4,1006E+12	1,9566E+16	-0,00064	-0,00021
10	-4,996E+13	-8,2048E+12	3,13463E+17	-0,00016	-2,6E-05
15	-1,1246E+14	-1,23162E+13	1,58729E+18	-7,1E-05	-7,8E-06
20	-1,9996E+14	-1,64384E+13	5,01707E+18	-4E-05	-3,3E-06
30	-4,4996E+14	-2,47296E+13	2,54007E+19	-1,8E-05	-9,7E-07
40	-7,9996E+14	-3,31072E+13	8,0281E+19	-1E-05	-4,1E-07
50	-1,24996E+15	-4,16E+13	1,96003E+20	-6,4E-06	-2,1E-07
75	-2,81246E+15	-6,3525E+13	9,92313E+20	-2,8E-06	-6,4E-08
100	-4,99996E+15	-8,68E+13	3,13639E+21	-1,6E-06	-2,8E-08
150	-1,125E+16	-1,392E+14	1,58805E+22	-7,1E-07	-8,8E-09
200	-2E+16	-2,024E+14	5,02015E+22	-4E-07	-4E-09
250	-3,125E+16	-2,8E+14	1,22598E+23	-2,5E-07	-2,3E-09
300	-4,5E+16	-3,756E+14	2,54307E+23	-1,8E-07	-1,5E-09
350	-6,125E+16	-4,928E+14	4,71331E+23	-1,3E-07	-1E-09
400	-8E+16	-6,352E+14	8,04454E+23	-9,9E-08	-7,9E-10
500	-1,25E+17	-1,01E+15	1,96625E+24	-6,4E-08	-5,1E-10
750	-2,8125E+17	-2,64E+15	9,99369E+24	-2,8E-08	-2,6E-10
1000	-5E+17	-5,62E+15	3,176E+25	-1,6E-08	-1,8E-10

По данным значениям построим график АФЧХ

Рисунок 4 - АФЧХ разомкнутой передаточной функции САУ

График не охватывает точку (-1;j0), отсюда следует что система устойчива.

Определение передаточной функции замкнутой системы

Передаточная функция замкнутой САУ определяется:

Подставив цифровые значения получим:

Произведя арифметические преобразования получим:

Найдем частотную передаточную функцию замкнутой системы
, где .

Умножив числитель и знаменатель полученного выражения на число, сопряженное знаменателю, используя правило перемножения комплексных чисел, получим окончательное выражение частотной передаточной функции замкнутой системы

Результаты расчетов сводим в таблицу 2.

Таблица 2. Расчёт полинома ВЧХ

ω	числитель	знаменатель	P (ω)
0	30000000	6E+11	0,00005
1	27800000	3,13602E+17	8,86474E-11
2	21200000	5,01761E+18	4,22512E-12
3	10200000	2,54016E+19	4,01549E-13
4	-5200000	8,02816E+19	-6,4772E-14
5	-25000000	1,96E+20	-1,27551E-13
6	-49200000	4,06426E+20	-1,21055E-13
7	-77800000	7,52954E+20	-1,03326E-13
8	-110800000	1,28451E+21	-8,62589E-14
9	-148200000	2,05753E+21	-7,20281E-14
10	-190000000	3,136E+21	-6,05867E-14
11	-236200000	4,59142E+21	-5,14438E-14
12	-286800000	6,50281E+21	-4,4104E-14
13	-341800000	8,95673E+21	-3,81612E-14
14	-401200000	1,20473E+22	-3,33022E-14
15	-465000000	1,5876E+22	-2,92895E-14
16	-533200000	2,05521E+22	-2,59438E-14
17	-605800000	2,61922E+22	-2,3129E-14
18	-682800000	3,29205E+22	-2,07409E-14
19	-764200000	4,08687E+22	-1,86989E-14

По данным таблицы построим график ВЧХ:

Рисунок 5 - ВЧХ замкнутой САУ

Построение вещественных трапеций и графиков h-функций
Полученную ВЧХ следует заменить прямыми и составить из них трапеции таким образом, чтобы при сложении ординат всех трапеций получился исходный график. В результате получаем в данном случае четыре трапеции, показанные

Рис. 6 – вещественные трапеции
По графикам вещественных трапеций определим: ω_ср, ω_н, Н, χ

трапеция	ωср	ωн	Н	χ
1	1	0	0,000051	0
2	2	1	0,000001	0,5

По параметрам вещественных трапеций рассчитываем значения h-функций
Таблица 3

t1

х(0)

x1

t2