Sirtlar bo’yicha olingan integrallar

Reja:
I bob. Sirt integrali haqida umumiy tushunchalar.
1. Birinchi tur sirt integrallari.
2. Ikkinchi tur sirt integrallari.
II bob. Sirt inegrallarini boshqa integrallar yordamida ifodalash.
1. Sirt integrallarini hisoblash.
2. Stoks formulasi.
3. Ostrogradskiy formulasi.
4. Grin formulalari.
Sirtlar bo’yicha olingan integrallar
1- . Sirt integrali
Oxyz to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasida biror V soha berilgan bo’lsin. Bu Vsohada biror fazoviy chiziq bilan chegaralangan sirt berilgan bo’lsin.
Biz sirtga nisbatanuning har bir P nuqtasidagi normalning musbat yo’nalishi n(P) birlik vector yo’naltiruvchi kosinuslari sirt nuqtalari koordinatalarining uzluksiz funksiyalari deb faraz qilamiz.
Sirtning har bir nuqtasida

vector aniqlangan bo’lsin, bunda X,Y,Z koordinatalarning uzluksiz funksiyalaridir.
Sirtni biror usul bilan elementar yuzlarga bo’lamiz. Har bir yuzda ixtiyoriy nuqtani olamiz va

yig’indini qaraymiz, bunda vektorning yuzning nuqtadagi qiymati, shu nuqtadagi narmalning birlik vektori, shu vektorlarning sikalyar ko’paytmasi. Barcha bunday yuzlarning diametrlari nolga intilgandagi hamma yuzlarga tadbiq etilgan (2.1.1) yig’indining limiti sirt integrali deb ataladi va ushbu

simvol bilan belgilanadi. Shunday qilib, ta’rifga ko’ra

(2.1.1) yig’indining har bir

qo’shiluvchisini mexanik jihatdan: asosi va balandligi bo’lgan silindirning hajmiga teng deb tushinish mumkin.

2.1.1-rasm
Agar F vector sirtdan oqib o’tuvchi suyuqlikning tezligi bo’lsa, (3) ko’paytma yuzdan vaqt birligida vektor yo’nalishida oqib o’tgan suyuqlikning miqdoriga teng (2.1.1-rasm).
Agar F vector suyuqlikning berilgan nuqtadagi oqish tezligi deb tushunilsa,
ifoda vaqt birligida sirt oprqali musbat yo’nalishda oqib o’tuvchi suyuqlikning umumiy miqdorini bildiradi. Shuning uchun sirt integrali (2) sirt orqali o’tuvchi F vector maydonning oqimi deb ataladi.
Sirt integralining ta’rifidan, agar sirt qismlarga bo’linsa, u vaqtda

ekanligi chiqadi.

2.1.2-rasm