Sirtlar bo’yicha olingan integrallar

Teorema: Biror sirtning konturi bo’yicha olingan vector sirkulyatsiyasi shu sirt orqali o’tuvchi urinma oqimiga teng.
Izoh: Agar sirt tekislikka parallel tekislikning bir bo’lagi bo’lsa, bo’ladi va biz Grin formulasini Stoks formulasining xususiy holi kabi hosil qilamiz.
Agar


bo’lsa, (2.3.9) formuladan har qanday fazoviy yopiq egri chiziq bo’yicha olingan egri chiziqli integralning nolga teng bo’lishi kelib chiqadi, ya’ni:

Bundan egri chiziqli integrallash egri chiziqning shakliga bog’liq emasligi ko’rinadi.
Tekis egri chiziq uchun ko’rsatilganidek, (2.3.11) shartning bajarilishi uchun (2.3.10) shart yetarligina emas, zaruriy shart ham ekanligini ko’rsatish mumkin.
Bu shartlar bajarilganda integral ostidagi ifoda biror funksiyaning to’liq differensiali bo’ladi:

demak,

Bu ham ikki o’zgaruvchining funksiyasi (4-paragrafga qarang) uchun hosil qilingan mosformula singari isbot qilinadi.
1-misol. moddiy nuqta dinmikasining asosiy tenglamalarini yozamiz:

Bunda m-nuqtaning massasi; nuqtaga ta’sir etuvchi kuchning koordinatalar o’qidagi proeksiyalari; esa tekislikning koordinatalar o’qidagi proeksiyalari. Yuqorida yozilgan tenglamalarning chap va o’ng tamonlarini

Ifodalarga ko’paytiramiz. Berilgan tengliklarni hadma-had qo’shsak:


bo’lgani uchun, bunday yoza olamiz:

va nuqtalarni tutashtiruvchi traektoriya bo’yicha integral olamiz.

bunda va va nuqtalardagi tezliklar.
Keying tenglik tirik kuchlar haqidagi teoremani ifodalaydi: bir nuqtadan ikkinchi nuqtaga o’tishdagi kinetic energiyaning ortirmasi massaga ta’sir etuvchi kuchning bajargan ishiga teng.
2-misol. birlik massani vaziyatdan vaziyatga ko’chirgandagi massaning qo’zg’almas markaziga bo’lgan niyuton tortish kuchining bajargan ishi aniqlansin.

2.3.2-rasm
Yechish. Koordinatalar boshi tortishning qo’zg’almas markaziga joylashgan bo’lsin. Birlik massaning ixtiyoriy vaziyatiga mos keluvchi M nuqtaning radius-vektorini r bilan (2.3.2-rasm), r-vektor bo’yicha yo’nalgan birlik vektorni esa r⁰ bilan belgilaymiz. U holda bo’ladi, bunda tortishish doimiysi. kuchning koordinatalar o’qidagi proeksiyalari

Bu holda kuchning yo’lda bajargan ishi mana bunga teng:

(chunki ). Agar va nuqtalar radius-vektorlarning uzunliklarini va bilan belgilasak:

Shunday qilib, bu yerda ham egri chiziqli integral integrallash egri chizig’ning shakliga bog’liq bo’lmay, faqat boshlang’ich va oxirgi nuqtalarining vaziyatlariga bog’liqdir. funksiya massa hosil qilgan tortish maydonning potensiali deb ataladi. Berilgan holda:

yangi birlik massani ko’chirish natijasida bajarilgan ish oxirgi va boshlang’ich nuqtalardagi potensial qiymatlarning ayirm asiga teng.

Fazoda yopiq sirt bilan chegaralanganva tekislikdagi ikki o’lchovli D to’g’ri sohaga proeksiyalanuvchi to’g’ri uch o’lchovli V soha berilgan bo’lsin. Biz sirtni uchta qismga bo’lish mumkin va ulardan oldingi ikkitasining tenglamasi

ko’rinisida bo’ladi deb faraz etamiz, bunda funksiyalar D sohada uzluksiz. Uchinchi qism esa yasovchisi o’qqa parallel bo’lgan silindirik sirtdir.
Quydagi

integralni qaraymiz. Integrallashni avval bo’yicha bajaramiz:


Sirt normalida aniq yo’nalishi, ya’ni yo’nalishi sirtning tashqi normali bilan bir xil yo’nalishni tanlab olamiz. U vaqtda funksiya sirtda musbat, sirtda esa manfiy bo’ladi; sirtda u nolga teng bo’ladi.
(2.4.1) tenglikning o’ng tamonidagi ikki o’lchovli integrallar sirt bo’yicha olingan mos integralga teng:


So’ngi integralda yozdik, chunki sirtlarning elimentlari va D soha yuzining elimenti, o’tmas burchak bo’lgani uchun
munosabat bilan bog’langan.
Shunday qilib,

( 2’) va ( 2’’) tengliklarni ( 1) tenglikka qo’ysak:



Keyin keladigan formulalarni yozish oson bo’lishi uchun ( sirtda tenglik bajarilganligi uchun
tenglikni qo’shib) oxirgi tenglikni quydagicha yozamiz:


Lekin, so’ngi tenglikning o’ng tamonidagi integrallar yig’indisi butun yopiq sirt bo’yicha olingan integraldir: shuning uchun

Shuning singari


munosabatlarni hosil qilish mumkin.
Keyingi uchala tenglikni hadlab qo’shsak, Ostrogradskiy formulasi hosil bo’ladi:



ifoda vektorining divergensiyasi (yoki vektor funksiyaning divergensiyasi) deb ataladi va divF simvol bilan belgilanadi:

Bu formulani shu paragrafning boshida ko’rsatilgan shartlarni qanoatlantiruvchi sohalarga bo’linadigan har qanday soha uchun ham to’g’ri ekanligini ham eslatib o’tamiz.
Hosil qilingan formulaning gidromexanik ma’nosini beramiz.

vector V sohadan oqib o’tuvchi suyuqlikning tezlik vektori bo’lsin. U holda sirt bo’yicha olingan ( 2) formuladagi integral, tashqi normaldagi vektor proeksiyasining integrali bo’ladi: bu V sohadan sirt orqali vaqt birligi ichida oqib chiquvchi (bu integral manfiy bo’lsa, V sohaga quyuvchi) suyuqlikning miqdorini beradi. Bu miqdor ning uch o’lchovli integrali bilan ifodalanadi.
Agar bo’lsa, u vaqtda istalgan yopiq sirt bo’yicha olingan ikki o’lchovli integral nolga teng, ya’ni istalgan yopiq sirt orqali oqib chiquvchi (yoki quyuvchi) suyuqlik miqdori nolga teng bo’ladi. Aniqroq qilib aytganda, sohaga quyuvchi suyuqlik miqdori shu sohadan oqib chiquvchi suyuqlik miqdoriga tengdir.
Ostrogradskiy formulasi vektor shakilda

ko’rinishida bo’ladi va bunday o’qiladi: biror hajm bo’yicha yoyilgan F vektor maydonning divergensiyasidan olingan integral berilgan hajmni chegaralovchi sirt orqali o’tadigan vektor oqimga teng.
Misol: Ostrogradskiy formulsi yordamida quydagi integrallar hisoblansin:

bunda S- ushbu elipsoidning sirti.
Yechish:





D- bo’laklari silliq S sirt bilan chegaralangan Eⁿ fazodagi soha bo’lib, va funksiyalar sinfga tegishli bo’lsin.
D soha bo’yicha quydagi


ayniyatlarni integrallab va Gauss-Ostragradskiy formulasini qo’llab,


formulalarni hosil qilamiz, bunda ga o’tkazilgan tashqi normal ( 1) ni Grinning birinchi, ( 2) ni esa ikkinchi formulasi deb yuritiladi. Agar va funksiyalar D da garmonik bo’lsa, u holda ( 1) va ( 2) formulalar quydagi ko’rinishga ega bo’ladi:


( 3) va ( 4) formulalarga asosan garmonik funksiyalarning qator sodda xossalari kelib chiqadi.
1) Agar D sohada garmonik bo’lgan funksiya da o’zining birinchi tartibli hosilalari bilan birga uzluksiz bo’lib, D sohaning chegarasi S da nolga teng bo’lsa, u holda barcha lar uchun bo’ladi (garmonik funksiyaning yagonalik xossasi).
Agar (3) tenglikda desak, undan bu xossa darrov kelib chiqadi. Haqiqatdan, da bo’lgani uchun ( 3) dan

yoki

tenglik kelib chiqadi.
Demak, lar uchun Bundan bo’lgani sababli, yopiq sohada ning uzluksizligidan barcha lar uchun
2) Agar D sohada garmonik, da birinchi tartibli hosilalari bilan uzluksiz bo’lgan funksiyaning normal hosilasi D ning chegarasi S da nolga deng bo’lsa, barcha nuqtalar uchun bo’ladi.
Bu xossa barcha lar uchun bo’lgani sababli, ( 5) tenglikdan darhol kelib chiqadi.
3) D sohada garmonik, da o’zining birinchi tartibli hosilalari bilan uzluksiz bo’lgan funksiyaning normal hosilasidan S bo’yicha olingan integral nolga teng.
Haqiqatan, ( 3) formula desak,

hosil bo’ladi.

Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati

1. T. Azlarov, H.Mansurov “ Matematik analiz” I, II qismlar, Toshkent “O’qituvchi”, 1989 yil
2. A.Sa’dullayev va boshq. “Matematik analiz kursidan misol va masalalar to’plami” II qism, Toshkent “O’qituvchi”, 1998 yil
3. Кудрявцев Л. Д., Кутасов А. Д., Чехлов В. И., Шабунин М. И.
Сборник задач по математическому анализу. Том 3. Функции
нескольких переменных: Учеб. пособие/ Под ред. Л.Д. Кудрявцева. —
2-е изд., перераб. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 472 с. — ISBN 5-9221-0308-3.
4.Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому
анализу. — 9-е изд. — М.: Наука, 1977.
5.Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчис-
ления. Т. 2, 3. — М.: Наука, 1969.