Шундай šилиб, 36) тенглама биринчи контур токи I

8.15. Кирхгоф ва Ом šонунларининг оператор шаклдаги тасвири

Кирхгофнинг биринчи šонунига кœра, занжир тугунидаги токлар оний šийматларининг йиђиндиси нолга тенг:

Аммо ќар šандай тармоšдаги i_k(t) токни I_k(р) каби оператор шаклда ифодалаш мумкин. Шундай экан, Кирхгофнинг биринчи šонунини оператор шаклда šуйидагича ёза оламиз:

Кирхгофнинг иккинчи šонунига кœра, берк контурнинг айрим šиcмларидаги кучланишлар йииндиси шу контурдаги э.ю.к. лар йииндисига тенг: . Демак, юšоридагига œхшаш, оператор шаклида šуйидагини ёза оламиз:

Бу тенглама Кирхгофнинг иккинчи šонунини оператор шаклда ифодалайди.
Энди кучланиш u(t) таъсиридаги R, L, C занжирга šайтамиз (8.1-расм). Бу занжирнинг дифференциал тенгламаси šуйидагича бœлади:


(8.46)
Умумий ќолда ваšт бœйича œзгарувчан ток i(t) нинг дифференциал тенгламаси (8.46) дан Лапласнинг оператор тасвири бœйича алгебраик тенгламасига œтиш мумкин:

Буни 8.14 да баён šилинганини ќисобга олган ќолда, šуйидагича šайта ёзиш мумкин:

. (8.47) чунки (8.44) га биноан, i(t) = I(p) ва u(t) = U (p).
(8.47) тенгламадан šуйидагини аниšлаймиз:
(8.48)
Бунда: I(p) ва U(p) - занжирнинг тегишли кириш šисмларидаги ток ва кучланишнинг оператор шакли;
Z(p) = R + рL + 1/pС - о п е р а т о р š а р ш и л и к .Шундай šилиб, (8.48) тенглама Ом šонунининг оператор ша- клдаги ифодасидир. Айрим бошланђич шартларда

бœлади; Бу эса R, L, C занжирни i(0) ток ва u (0) кучланиш нолга тенг бœлган ќолда u(t) кучланишга улаш жараёнини тасвирлайди.
Šаршиликлари бœлган иккита параллел тармоš кучланиш U(р) га улангандаги умумий оператор ток



бœлиб, уни оддий ќолда занжирнинг тœла œтказувчанлиги Y(р) нинг U(р) га кœпайтмаси, деб бœлмайди, чунки касрларнинг суратлари I₁(р) ва I₂(р) бошланђич шартлари нолга тенг бœлмаса, œзаро тенг бœлмайди; аммо i₁(0), u_с1(0), i₂(0) ва u_с2(0) нолга тенг бœлса,



бœлади; бунда Y₁(p) ва Y₂(p) - тармоšларнинг оператор œтказувчанликлари.
Бу ќолда бутун занжирнинг эквивалент оператор šаршилиги šуйидагича бœлади:
.

8.16. Œткинчи жараёнларни оператор усули билан ќисоблашга доир мисоллар

Œткинчи жараёнларнинг илгари классик усул билан ќисобланган баъзи мисолларини кœриб чиšамиз.

1. r, L з а н ж и р н и œ з г а р м а с к у ч л а - н и ш и U₀ г а у л а ш (8.2-расм). Занжирдаги œткинчи ток i(t) Ом šонунига биноан, оператор шаклида
бœлади, бу эса оригинал га мос келади.
2. r, L з а н ж и р н и с и н у с о и д а л к у ч л а н и ш г а у л а ш (8.4-расм). 8.1-жадвалга биноан, занжирга берилган кучланиш u(t) нинг функцияси šуйидаги тасвирга мос келади:

Демак, оператор шаклидаги œткинчи ток
Кœриб турибмизки, бу ифода оригиналдан бевосита тасвирга œтиш учун имкон бермайдиган ва šисšартириб бœлмайдиган мураккаб тасвирдир:
(8.49)
(бунда n>m).
Бундай ќолларда олий математика курсида маълум бœлган ёйиш теоремасидан фойдаланилади. Унинг моќияти шундаки, илдизлар œзаро тенг бœлмаган кœп ќадли функция F₂(p) нинг илдизларини ёйиб, уни оддий касрларнинг йииндиси тарзида ифодалаш мумкин:
(8.50)
бунда А₁, А₂, ..., А_n ёйиш коэффициентларини ифодаловчи оддий ќаšиšий сонлар; p₁, p₂, ... , p_n эса F ₂(p) = 0 тенгламанинг илдизлари.
Коэффициент А_k šуйидагича аниšланади:
(8.50)
(бунда Лопиталь šоидасидан яна фойдаланилади, чунки да 0/0 туридаги ноаниšлик ќосил бœлади).
Кœриб чиšилаётган мисолда текширилаётган оператор функция šуйидаги касрни ифодалайди: ,
махражнинг F₂(р) илдизлари: р₁ = - j, р₂=j ва р₃ =- r/L.
Демак, (8.51) га биноан, бизнинг мисолда ёйиш коэффициентлари šуйидагича бœлади:





(бунда - занжирнинг тœла šаршилиги, ёки нинг модули, шу сабабли Z = r + jL, r = Z сos ва L = Z sin).
Энди (8.50) ифодага биноан;

8.1-жадвалдан оддий касрлар йиђиндисининг ќар бир ташкил этувчисига мос оригинални танлаймиз:

Бу ифоданинг илгари (8.4) ифодада олинган натижалари билан бир хиллиги кœриниб турибди.

3. 
   R, C з а н ж и р н и š и с š а т у т а ш т и р и ш.
   

(8.10-расм).
Занжирнинг œткинчи режимдаги дифференциал тенгламаси: .
Бунга мос алгебраик оператор тенглама
.
[u_с(0) ќад бошланђич шарт нолга тенг бœлмаганидан пайдо бœлди; чунки коммутацияга šадар сиим зарядланган бœлиб, бошланђич кучланиш u_c(0) =U₀ эди].
Шунинг учун занжирдаги оператор ток:
.
8.1-жадвалдан шу функциянинг оригиналини топамиз: , бунда RC =.
бу 8.8 даги (8.20) ифода билан бир хиллиги яššол кœриниб турибди.

3. 
   R, L з а н ж и р г а к о н д е н с а т о р н и н г н о д а в р и й з а р я д с и з л а н и ш и (8.11- расм).
   

Занжирнинг дифференциал тенгламаси .
Бунга мос алгебраик оператор тенглама:
.
i (0) = 0 ва u_с(0) = U эканлиги бошланђич шартдан маълум.
Демак,

бунда F₁(p) = 1 ва F₂(p) = p² + 2p + ² ёйиш теоремасига мослаштирилган функциялар. F₂(p) = 0 нинг илдизлари:


ва .

Функция F₂(p) нинг биринчи ќосиласи эса F’₂(p) = 2p + 2, шунинг учун ёйиш коэффициентларини šуйидагича аниšлаймиз:

.

Энди функциянинг оригиналини янги ва унга эквивалент тасвирдан излаймиз:

чунки

Функция I(p) нинг тасвирига šараганда, унинг оригинали

бœлади; бу эса 8.9 дан олинган (8.23) ифодага мос келади.