Шундай šилиб, 36) тенглама биринчи контур токи I

8.13. Оддий функцияларни Лаплас формуласи бœйича алмаштириш

Берилган оддий функция f(t) = U₀ бœлганда унинг тасвири F(p) ни топиш талаб этилади деб фараз šилайлик. Унда (8.44) формулага биноан

бœлади, яъни œзгармас катталикнинг тасвири шу катталикнинг оператори р га бœлинганига тенг.
Шунингдек, экспоненциал функция f(t) = e^t нинг тасвири бœлади, яъни . Худди шунга œхшаш, šуйидагиларни ќам исбот этиш мумкин:
1) ;
2) ;
3)
4)
5)
ва ќ.к.
Šуйидаги жадвалда œткинчи жараёнларни ќисоблашда кœп учраб турадиган ваšтли функциялар ва уларнинг тасвирлари кœрсатилган. Жадвал ваšтли функцияларидан уларнинг тасвирига бевосита œтиш имконини беради. Тасвирлар билан тегишли операциялар бажарилгандан сœнг оригиналлар f₁(t); f₂(t) ва бошšа функцияларнинг оригиналларига šайта œтиши мумкин.
Энди ваšт жиќатидан х га силжиган оригинал функциянинг (бундай функцияни œткинчи œтказувчанлик Y(t - x) кœринишида Дюамель интегралида учраган эди) тасвирини кœриб чиšамиз. Шундай šилиб, агар f (t)  F (p) бœлса, 8.44-формулага биноан,


бœлади, яъни (бунда t-x = t > 0 - янги координаталар боши t + x = 0 дан ќисобланадиган шартли ваšт, шунингдек (t-x) нолдан кичик бœлмаслиги керак).
8.1-жадвал.

Оригинал (асли)	Тасвир	Оригинал (асли)	Тасвир

8.14. Функция ќосиласи ва интегралининг Лаплас бœйича тасвири
Берилган ќосила функциясининг тасвирини топиш талаб этилади, деб фараз šилайлик. (8.44) га биноан:
. (*)
Šисмлар бœйича интеграллаш šоидаси
дан фойдаланиб, (*) ифоданинг œрнига šуйидагини ёзамиз


чунки

га биноан Агар f(0) = 0 бœлса, у холда

бœлади, яъни f(t) дан ќосила олиш унинг тасвирини оператор - p га кœпайтириш билан баробар.
Худди шунга œхшаш, оригинал f(t) нинг иккинчи ќосиласи šуйидаги тасвирга эга эканлигини ќам кœрсатиш мумкин:
f(t) функция дан n –ќосила

бœлади. Чунончи, t=0 пайтда функциянинг œзи ва унинг барча ќосилалари 0 га тенг бœлса, бœлади. Агар энди f(t) функциядан интеграл олинадиган бœлса, унинг Лаплас бœйича тасвири, (8.44) формулага биноан:

(**)
Бœлаклаб интеграллаш šоидасига биноан (**) ни šуйидагича šайта ёзамиз:



Шунинг учун яъни функция интегралининг тасвири функция тасвирининг оператор p га бœлинганига тенг. Бироš шуни ќисобга олиш лозимки, бошланђич шартлар нолга тенг бœлмаган f(0)0 ќолда, функциянинг интегралида бу œзгармас катталик f(0) ќам šатнашиш лозим. У ќолда (**)ифодага (t) тарзида функцияни киритиш керак бœлади. Унинг тасвири эса šуйидагича ифодаланади:



Сиђимдаги кучланиш ни аниšлашда бундай кœринишдаги интеграл илгари ќам учраган эди. Агар умумий ќолда u_с(0)=0 бœлса, бу кучланишнинг тасвири:


.