Шредингер тенгламаси ва унинг бази масалалар учун ечими

Эҳтимоллик оқими ва зичлиги
Шредингер тенгламасидан фойдаланиб, заррачалар сонини сақланиш қонунини ифодаловчи узлуксизлик тенгламасини келтириб чиқариш мумкин, яъни: (6) бунда w - координаталари (x, y, z) нуқтадаги заррачалар сонининг ўртача зичлигини билдиради. Бу тенгламани ҳосил қилиш учун (5) тенгламанинг комплекс қўшма тенгламаси ёзилади: (7)
(5) тенгламани ψ^∗ га, (7) тенгламани эса ψ га кўпайтириб ва олинган натижаларни бир-биридан айирсак, натижада қуйидаги ифодага келинади:
(8) Ҳосил бўлган тенгламани қуйидаги кўринишда ёзиш мумкин: (9)
(9) тенгламада ψψ^∗ кўпайтма w эҳтимоллик зичлигини билдиради,
яъни w =ψ∗ψ (10)
Қуйидаги белгилашни киритамиз: (11) у ҳолда (9) тенгламани (12) кўринишида ёзиш мумкин. Демак, вектори эҳтимоллик оқимининг зичлиги бўлади.
Агарда (12) тенгламада w =ψ^∗ψ заррачаларнинг ўртача зичлиги  ₂ сифатида қаралса, у ҳолда ни 1 сек да 1 см юзадан ўтадиган заррачаларнинг ўртача оқими сифатида қараш мумкин. Шунинг учун, одатда (12) тенгламани заррачалар сонини сақланиш қонуни маъносида талқин қилинади.
Стационар ҳолатлар. Стационар Шредингер тенгламаси.
Ташқи ўзгарувчан майдонлар бўлмаган ҳолда Η гамильтониан вақтга боғлиқ бўлмайди ва у тўла энергия оператори билан мос келади.
Бу ҳолда (2) даги Шредингер тенгламаси (13) кўринишда бўлиб, ўзгарувчиларни ажратиш йўли орқали муҳим ечимларни олиш мумкин. Яъни, ψ(x,t) функцияда х ва t ўзгарувчилар ажратилади: (14)
(14) ифодани (13) тенгламага қўйиб алмаштиришлар ўтказиб қуйидаги иккита тенглама келтириб чиқарамиз: (15)
(15) тенгламанинг ечимини ошкор равишда қуйидагича ёзиш мумкин:
(16)
(16) тенглама эса Гамильтон операторининг хусусий қийматларини аниқлаб берувчи тенглама ҳисобланади. ψ(x) тўлқин функциялари системанинг энергияси аниқ қийматларни қабул қиладиган ҳолатларига мос келади. Аниқ энергия қийматларга эга бўлган ҳолатларни квант механикасида стационар ҳолатлар деб юритилади. (14), (15) ва (16) ифодаларга биноан стационар ҳолатларнинг тўлқин функциясини
(17) кўринишда ёзиш мумкин, бунда ψ_n (x, t⁾ ечим Ε_т энергияли ҳолатга мос келувчи тўлқин функция. Юқоридаги (15) тенглама эса стационар ҳолатлар учун Шредингер тенгламаси деб юритилади.
(17) ифодадан қуйидаги хулоса келиб чиқади: аниқ энергия қийматига эга бўлган ҳолатлар частота билан вақтга гармоник боғлиқ бўлади.
(18)


Фойдаланилган адабиётлар:

1. 
   М.М.Мусаханов, А.С.Рахматов, Квант механикаси – Т.,2011 й.
   
2. 
   Д.И.Блохинце, Основне квантовой механики – М.1983.
   
3. 
   Г.Х. Хошимов, Р.Я.Расулов, Н.Х.Хошимов, Квант механика асослари – Т., 1995 й.
   
4. 
   В.М.Шехтер, А.А.Ансельм, Атом и квантовая механика –М., 1984 г.