Шредингер тенгламаси ва унинг бази масалалар учун ечими

Шредингер тенгламаси ва унинг бази масалалар учун ечими


Аннотация: Бизга маьлум, заррачанинг бирор вақт моментидаги тўлқин функцияси маълум бўлган ҳолда, унинг шу моментдаги ҳар қандай физик катталигининг эҳтимоллик тақсимотини аниқлаш мумкин деб гап юритган эдик.


Калит сўзлар: тенглама, функция, қонунлар, вақт, оператор,тулкин, физика ва бошқалар

Ҳозирча энг муҳим нарсани, яъни вақт ўтиши билан тўлқин функциясининг ўзгаришини ва шу билан бирга физик катталикнинг эҳтимоллик тақсимотлари вақт давомида қандай ўзгаришини билмаймиз.

Аниқки, заррача ҳолатининг вақт бўйича ўзгариши, унга таъсир қилувчи кучга боғлиқ бўлиши керак. Шунинг учун квант механикада тўлқин функциясини вақт бўйича ўзгаришини бошқарувчи, классик механикадаги Ньютон қонунларидек, динамик қонунни топиш зарур.
Шу сабабли, классик механиканинг асосий принципларини яна бир марта эслаб ўтиш ортиқчалик қилмайди. Классик механикада заррачанинг ҳолатларини таърифловчи физик катталиклар ичида координата ва импульс алоҳида рол ўйнайди. Сабаби, бу катталикларнинг бирор вақт моменти учун берилиши, заррачанинг кейинги ҳаракатини тўлиқ аниқлаб беради, бу эса бевосита Ньютон қонунларидан келиб чиқади:
(1)
Бу тенгламалардан кўриниб турибдики, координата ва импульс катталикларнинг вақт бўйича ўзгариш тезлиги шу катталикларнинг ўзи билан аниқланар экан.
Айнан шу боғланиш туфайли заррачанинг турли вақтдаги ҳолатлари орасидаги сабабий боғланиш мавжуддир, яъни классик механикада заррачанинг ҳолати координата ва импульс катталиклари билан тўлиқ аниқланади, яъни бу икки катталикни бирор моментда берилиши уларни исталган моментда бир қийматли аниқлаш учун етарлидир. Шунинг учун ҳам барча физик катталиклар шу асосий катталиклар орқали ифодаланади.
Квант механикада эса заррачанинг ҳолати тўлқин функция орқали тўлиқ аниқланади. Агар табиатда ҳақиқатан ҳам заррачанинг турли моментдаги ҳолатлари орасида сабабий боғланиш мавжуд бўлса, бу ҳол тўлқин функциясининг вақт бўйича ўзгариши орқали ифодаланиши керак.
Математик жиҳатдан ψ(x, 0) ва ψ(x, t) тўлқин функциялари орасидаги боғланишни аниқлаш зарур ва квант механикада ушбу боғланиш сабабият принципининг талабидан келиб чиқади.
Берилган ψ функцияни t =0 вақтга чексиз кичик яқин бўлган Δt вақт моментида кўриб чиқайлик. Уни қуйидаги қатор кўринишида ёзиш мумкин:

Юқоридаги фикрларга асосан катталик ψ(x,0) дан аниқланиши керак, яъни

t =0 вақт моменти ихтиёрий олингани сабабли, қуйидаги муносабатга келинади. (2)
Бунда L оператор - вақт бўйича силжиш оператори дейилади ва бу оператор қуйидаги постулатлар ёрдамида аниқланади.

1. 
   Суперпозиция принципига асосан бу оператор чизиқли оператор бўлиши керак.
   
2. 
   L операторнинг таркибида вақт бўйича ҳосилалар ва интеграллар қатнашмаслиги керак.
   
3. 
   L операторда вақт параметр сифатида қатнашиши керак.
   

Юқоридаги шартларни қаноатлантирувчи қидирилаётган L oператорни тўғри танлаб олиш учун импульси аниқ қийматга эга бўлган заррачанинг эркин ҳаракатини кўриб чиқайлик.
Бундай ҳаракатнинг тўлқин функцияси сифатида де-Бройл тўлқин функциясини танлаб олиш мумкин,

Бунда
ψ функция учун ёзилган ифода қуйидаги тенгламани қаноатлантиришини бевосита текшириш қийин эмас:
ёки
Бунда Η оператор сифатида эркин ҳаракатланувчи заррачанинг энергия операторини ёки гамильтонианини тушуниш керак:
Демак бу ифодадан эркин ҳаракатни ифодаловчи ҳолат учун вақт бўйича силжиш оператори (3) кўринишида бўлиши керак.
Ушбу постулатни асос деб олган ҳолда тўлқин функцияси учун (2)тенгламани (4) кўринишда ифодалаш мумкин.
Бу (4) тенглама Шредингер тенгламаси дейилади ва квант меҳаника асосларини ташкил қилувчи тенгламалар қаторига киради.
(4) тенгламадаги Η операторнинг қийматини ошкор равишда ва ташқи майдонни ҳисобга олган ҳолда ёзилганида, Шредингер тенгламаси
(5) кўринишга келади. Шредингер тенгламасидаги Η энергия оператори чизиқли оператор бўлганлиги сабабли тенгламанинг ўзи ҳам чизиқли тенглама бўлади.
Бундан Шредингер тенгламаси ечимларининг суперпозиция принципига бўйсуниши ва шу сабабли унинг бир нечта ечимларининг йиғиндисидан ташкил топган ечим ҳам тенгламани қаноатлантириши келиб чиқади. Иккинчидан, Шредингер тенгламасида ҳосиланинг олдида i мавҳум соннинг мавжудлиги катта аҳамиятга эга.
Классик физикада вақт бўйича биринчи тартибли, хусусий ҳосилали тенгламаларнинг ечимлари даврий эмаслиги аниқ, чунки улар қайтмас жараёнларни ифодалайди. Вақт бўйича биринчи тартибли, хусусий ҳосилали дифференциал тенглама бўлган Шредингер тенгламасида нинг олдида i мавҳум соннинг мавжудлиги туфайли бу тенглама даврий ечимларга эга бўлади. Шундай қилиб, вақт ўтиши билан тўлқин функциясининг ўзгариши ва шу билан бирга физик катталикнинг эҳтимоллик тақсимотлари вақт давомида қандай ўзгаришини топиш усули аниқланди. Ушбу усулнинг моҳияти олинган вақтга боғлиқ Шредингер тенгламасини ечишдан иборатдир.