«Школа №77» Сормовского района г. Нижнего Новгорода Научное общество учащихся

Применение графиков функций к решению задач.
1)При каких значениях параметра k уравнение
=k имеет два корня?
Решение.
1.k≥0
2.Построим график y=
a) Область определения функции: x≠±1.
б)

в) Поскольку функция четная, гипербола симметричная относительно оси Oy.
3.Так как уравнение имеет 2 корня, прямая y=k должна пересекать график в двух точках. Следовательно, 12)При каких значениях параметра k уравнение
=k имеет 4 корня?

Решение.

1. 
   Правая часть уравнения может быть только неотрицательной, то есть k≥0.
   
2. 
   Построим график функции
   

y=
a)
б)

Ответ:
а) Если k=0, то уравнение имеет 4 корня(-4;-2;2;4)
б) Если 13)Решить неравенство
x-1 <
Решение.
1.Найдем абсциссы точек пересечения графиков функций
y=x-1 и y= .
2.Решим уравнения:
А)x-1= -5x+4 Б)x-1= -( -5x+4)
x-1= - +5x-4
=5, =1 =0
=3, =1.
3.Построим графики функций
y=x-1 и y=
y=
= - = 2,5
=
(2,5;-2,25)-вершина параболы.
y=0: -5x+4=0
=2,5±1,5
=4; =1
y(0)=4

Ответ: x<1,15.
4) Решить уравнение 1- = .
Решение.
Изобразим в одной системе координат графики функций y=1- и y=

Графики пересеклись в точке (-1;2). Следовательно, корень данного уравнения x=-1.
Ответ: x=-1

5. 
   По­строй­те гра­фик функ­ции
   

и опре­де­ли­те, при каких зна­че­ни­ях пря­мая будет пе­ре­се­кать по­стро­ен­ный гра­фик в трёх точ­ках.
Ре­ше­ние.
По­стро­им гра­фик функ­ции

Из гра­фи­ка видно, что пря­мая у = с будет иметь с гра­фи­ком ровно три точки пе­ре­се­че­ния при с при­над­ле­жа­щим мно­же­ству: (0;5).
Ответ: (0; 5).

5. 
   По­строй­те гра­фик функ­ции у = и опре­де­ли­те, при каких зна­че­ни­ях k по­стро­ен­ный гра­фик не будет иметь общих точек с пря­мой у=kх.
   

Ре­ше­ние.
Область определения: х и х
Пре­об­ра­зу­ем функ­цию к виду: у = . Гра­фик — пря­мая у = х-3 без двух точек (-3; -6) и (9; 6).

Пря­мая у=kх не будет иметь с по­стро­ен­ной пря­мой общих точек, если она будет ей па­рал­лель­на, т. е. при k=1, и если она будет про­хо­дить через вы­ко­ло­тые точки. Через первую из этих точек пря­мая про­хо­дит, если k=2, а через вто­рую — если
k=
Ответ: ; 1;2.


Заключение
Выполнив данную работу, я научился выполнять построение графиков функций при помощи геометрических преобразований. Это поможет мне решать различные типы задач (неравенства, уравнения, задачи с параметром) графическим способом. Таким образом я готовлюсь к успешной сдаче экзамена ОГЭ и ЕГЭ.

Список литературы:
Крамор В.С. Примеры с параметрами и их решение. Пособие для поступающих в вузы. – М.: АРКТИ, 2001
Дороднов А.М. и др. Графики функции. Учебное пособие для поступающих в вузы. М., «Высш.школа», 1972
Гельфанд И.М., Е.Г. Глаголева, Э.Э. Шноль Функции и их графики «Наука» Москва 1971
Виленкин Н.Я. Функции в природе и технике: М.: Просвещение , 1985
Открытый банк заданий ФИПИ
Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин Алгебра. 9 класс: учебник для общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 2011