Sharof rashidov nomidagi

SHAROF RASHIDOV NOMIDAGI
SAMARQAND DAVLAT UNIVERSITETI
Raqamli texnologiyalar fakulteti
AMALIY MATEMATIKA VA INFORMATIKA YO’NALISHI
«HISOBLASH USULLARI» FANIDAN


« Yopishqoq materialdan yasalgan kvadrat plastinkaning egilishining matematik modeli va uni sonli yechish »


MAVZUSIDAGI

KURS ISHI



Bajaruvchi: Tirkashev O.
Ilmiy rahbar: Xo’jayorov B.
SAMARQAND – 2022


MUNDARIJA

1. 
   Qo'llab-quvvatlanadigan qirralar bilan to'rtburchakli plastinkaning egilishi
   
2. 
   Ikki to'g'ridan-to'g'ri qarama-qarshi tomonlar qo'llab-quvvatlanadigan, qolgan ikkitasi esa har qanday tarzda o'rnatiladigan to'rtburchakli plastinkaning egilishi.
   
3. 
   Kvadrat plastinkaning egilishi.
   
4. 
   Kvadrat plastinkani sonli yechish usuli.
   
5. 
   Yopishqoq materialdan yasalgan plastinkaning egilishining maple dasturi.
   

To'g'ri to'rtburchaklar plastinkaning yon tomonlari uzunligi bo'lsin. Koordinatalar boshini to‘rtburchaklar konturning cho‘qqilaridan biriga qo‘yib, o‘qlarni plastinkaning yon tomonlari bo‘ylab yo‘naltiramiz. Uzluksiz egilish yukining intensivligi umumiy holatda o'zgaruvchan bo'ladi va biz uni qandaydir funktsiya orqali aniqlaymiz Keyin plastinkaning egri sirtining differentsial tenglamasi quyidagicha yoziladi:

Plitaning qirralari qo'llab-quvvatlanganligi sababli, konturdagi burilish va egilish momentlari nolga teng bo'lishi kerak. Shuning uchun, qachon

Agar plastinkaning egilishi ifodasini olsak, biz plastinka konturidagi barcha shartlarni qondiramiz.

butun sonlar qayerda. (a) tenglamaning chap tomoniga (b) ifodani qo'yib, ifodani olamiz

va tenglama faqat har bir nuqtadagi egilish yukining intensivligi qabul qilingan og'ish bilan mutanosib bo'lsa, qanoatlantiriladi. shaklga ega bo'ling Bunday holda, biz qo'yishimiz mumkin.

Ushbu ifodani (a) tenglamaga almashtirsak, (c) qator koeffitsientlari sharti bo'lishi uchun tanlanishi kerakligini topamiz.

Ushbu koeffitsientlarni aniqlash uchun biz taniqli usuldan foydalanamiz. Tenglikning ikkala tomonini (d) ga ko'paytiring va keyin 0 dan b gacha bo'lgan diapazonda integrallashing.

(d) tenglikni quyidagicha yozing:

Chap tomonda yig'indi soni doimiy va teng bo'lib qoladi.
Bunday holda, seriyaning barcha a'zolari yo'qoladi, biz uchun bo'lganidan tashqari
xulosa qilib olamiz

Agar egilish yukining taqsimlanish qonuni berilgan bo'lsa, biz tenglamaga mos keladigan funktsiyani integrallash orqali kiritamiz, biz koeffitsientning kerakli qiymatini olamiz.Masalan , bir xil yuk bo'lganda, intensivlik bo'ladi.

Tenglama bizga beradi

g'alati turdagi,

kechki payt. Topilgan iboralarni (c) umumiy formulaga almashtirib, bir xil yuk ta'sirida plastinkaning egilishi uchun quyidagi ifodani olamiz:

Agar plastinka bir nuqtada qo'llaniladigan konsentrlangan kuch ta'sirida egilgan bo'lsa , u holda funktsiya plastinkaning butun yuzasi bo'ylab nolga teng bo'ladi, kuch qo'llash nuqtasi bundan mustasno va biz buni topamiz.

Bunday holda, biz burilish uchun ifodani olamiz

Xuddi shunday, boshqa har qanday yuk uchun ifodani osongina olish mumkin.
Keling, texnik hisob-kitoblarda tez-tez uchrab turadigan bir xil taqsimlangan yuk masalasiga batafsil to'xtalib o'tamiz.
Burilish uchun umumiy ifodaga ega bo'lib, unda nazarda tutsak, plastinka markazidagi burilish o'qining qiymatini olamiz.

Buning uchun ifodani almashtirib, plastinkaning tomonlari orasidagi ma'lum nisbat uchun qo'sh yig'indining qiymatini hisoblab, biz maksimal burilishni quyidagicha ifodalashimiz mumkin:

a koeffitsientining bir qator qiymatlari jadvalda keltirilgan. 26 Bundan ko'rinib turibdiki, nisbatning oshishi bilan to'rtburchaklar plastinkaning og'ishi silindrsimon sirt bo'ylab egilgan plastinkaning og'ishiga tezda yaqinlashadi (bizda bu egilish At da bo'ladi, burilishlar farqi taxminan 6,5% ni tashkil qiladi. plitaning egilishining bu farqi 0,5% dan kam. Asosida egilish momentlari uchun biz bo'lamiz

Bu yerda munosabat bilan belgilanadi.
Olingan iboralarga asoslanib, biz xulosa qilamizki, bir xil nisbatga ega bo'lgan ikkita plastinka uchun, agar faqat plitalardagi umumiy yuklar teng bo'lsa, mos keladigan nuqtalardagi stresslar bir xil bo'ladi. Simmetriya tufayli biz eng katta stresslar yuzaga keladi degan xulosaga kelamiz
plastinka markazida. Biz topamiz deb faraz qilamiz

Koeffitsientlarning qiymatlari va tomonlar orasidagi turli nisbatlar uchun jadvalda keltirilgan. 26. Plitaning uzunligi ortishi bilan maksimal bükme momentining qiymati silindrsimon sirt bo'ylab plastinkaning egilishiga mos keladigan qiymatga yaqinlashadi. Agar plitani hisoblashda biz a uzunligidagi nur chizig'ini hisoblashni almashtirsak, maksimal moment qiymatida biz taxminan 5% xatoga erishamiz.


uchun, bu xato faqat bo'ladi.
Kesish kuchlarini aniqlash uchun formulalardan foydalanamiz

Ushbu formulalarga uning qiymatini almashtirib, tegishli hisob-kitoblarni amalga oshirib, biz kesish kuchlarining eng katta qiymatlari plastinkaning yon tomonlarining o'rta nuqtalarida paydo bo'lishiga ishonch hosil qilamiz. Ushbu maksimal qiymatlarni quyidagicha ifodalash mumkin:

koeffitsientlarning qiymatlari jadvalda keltirilgan. 
Plastinka tomonidan konturga uzatiladigan bosimlarni olish uchun burilish momenti tufayli va qo'shimcha kuchlarni qo'shish kerak.Plastinka konturining yon tomonlarining o'rta nuqtalaridagi bosimlar quyidagicha taqdim etiladi.

Turli qiymatlar uchun hisoblangan koeffitsientlar jadvalda keltirilgan. Bundan tashqari, rasmda. 
Kvadrat plastinkaning yon tomoni bo'ylab burilish momentlariga mos keladigan umumiy bosim va bosimlarning o'zgarishini ko'rsatadi. Shaklda aspekt nisbati bo'lgan plastinka uchun kesish kuchlarining konturi bo'ylab o'zgarishini ko'rsatadi. Hisob-kitoblar shuni ko'rsatadiki, plastinkada yotgan yukni muvozanatlash uchun mos keladigan tayanch reaktsiyalari. Burilish momentlaridan qo'shimcha reaktsiyalar plastinkaning yuqori qismida harakat qiluvchi konsentrlangan reaktiv kuchlarni muvozanatlashtiradi.
Kesish kuchlariga to'g'ri keladigan va plastinkaning qisqa tomoniga o'tkaziladigan umumiy bosim uzun tomonning uzunligi bilan asta-sekin o'sib boradi va chegaralangan holatda biz kvadrat plastinka uchun mavjud bo'lgan bosimdan oshadi (ya'ni, taxminan 8,5% qiymat). 
Burama juftliklardan kontaktlarning zanglashiga olib keladigan umumiy bosimi kvadrat plastinkada 26% va juda uzun plastinkada 35% kuchlar ta'sirida bo'ladi.
Konturning uzun tomonlarida burilish juftlariga mos keladigan bosim kamroq rol o'ynaydi. Uning qiymati plastinka uzunligi ortishi bilan kamayadi va masalan u kuchlar tufayli bosimning faqat taxminan 8% ni tashkil qiladi. Qachon ekanligini ko'rish mumkin konturning uzun tomonlarining o'rta qismidagi bosim deyarli doimiy bo'lib qoladi va cheksiz uzun plastinkaga mos keladigan bosimga yaqin bo'ladi.
Plastinaning tepalarida to'plangan reaktiv kuchlar formuladan aniqlanadi

Bu erda ifoda o'rniga , biz jadvalning oxirgi qatorida berilgan qiymatlarni olamiz.
Navier eritmasi to'rtburchaklar plastinkaning tebranishlarini o'rganish uchun qo'llanilishi mumkin. Tegishli differentsial tenglamani olish uchun (a) tenglamaning o'ng tomonidagi egilish yuki o'rniga inertial kuchlarni almashtirish kerak. Agar plastinkaning birlik yuzasiga og'irligini orqali belgilasak, tebranishlar tenglamasi quyidagicha yoziladi:

Agar biz o'rnatsak, plastinka konturidagi shartlarni qondiramiz

Ushbu ifodani (e) tenglamadagi burilish o'rniga qo'yib, biz tanlangan tebranish turining chastotasi qiymatini olamiz.

Plitalarning tabiiy va majburiy tebranishlarini o'rganish ko'rib chiqilayotgan holatda, qo'llab-quvvatlanadigan uchlari bo'lgan nurlarning tebranishlarini ko'rib chiqishda bo'lgani kabi amalga oshirilishi mumkin.
Plitaning y o'qiga parallel bo'lgan tomonlari (102-rasmga qarang) qo'llab-quvvatlansin, qolgan ikki tomoni esa har qanday tarzda o'rnatiladi. Bu plastinkaning egilishi haqidagi savolni o‘rganayotganda M. Levi yechimidan foydalanamiz. Agar differensial tenglamaning muayyan yechimini oladigan bo’lsak, plastinkaning tayanch tomonlari shartlarini qanoatlantiramiz.

ushbu shaklda:

Bu erda , noma'lum funktsiya bo'lib, u (a) tenglama va plastinkaning x o'qiga parallel bo'lgan tomonlaridagi shartlar bajariladigan tarzda tanlanishi kerak. Biz cheksiz qator shaklida plastinkaning egilishi uchun ifoda izlaymiz :

shaklning yechimlarini qo'yish orqali olinadi.
(c) ifodani (a) differensial tenglamaga qo‘yib, topamiz

Demak, hosil boʻlgan tenglamaning ikkala qismini koʻpaytirib, ularni a dan a gacha boʻlgan chegaralar ichida integrallash orqali biz funktsiya uchun shunday doimiy koeffitsientli chiziqli differensial tenglamani olamiz:

Agar qisqartirish uchun a ni qo'ysak va (d) tenglamaning ma'lum bir yechimi bilan belgilasak, uning umumiy integrali quyidagicha yoziladi:

X o'qiga parallel ravishda plastinkaning qirralari bo'ylab mahkamlash shartidan ixtiyoriy doimiylarni aniqlash mumkin.
Keling, bir nechta maxsus holatlar uchun ushbu konstantalarning qiymatlarini topamiz. 
1. Agar plastinkaning qirralari qo'llab-quvvatlanadigan o'qga parallel deb hisoblasak, u holda biz yuqorida ko'rib chiqilgan Navier muammosiga kelamiz. Ushbu qirralarning mahkamlash shartlari quyidagicha yozilgan:

Qayerda

Bosh integral (e) ning ixtiyoriy konstantalarini olish uchun biz quyidagi tenglamalarga ega bo'lamiz:

Intensivlik yuki bir xil taqsimlanganda tenglama quyidagicha yoziladi:

Agar juft bo'lsa, hosil bo'lgan tenglamaning o'ng tomoni yo'qoladi va biz tenglamalar bo'yicha aniqlangan ixtiyoriy doimiylar nolga teng bo'ladi , shu bilan birga, juft tartibli funktsiyalar ham yo'qoladi . G'alati uchun biz topamiz

(f) tenglamalar ixtiyoriy doimiylar uchun qiymatlarni beradi

bu yerda, qisqalik uchun, belgi

uchun ifoda quyidagicha yozilgan:

Plitaning taglikdagi egilishi (c) quyidagi shaklda taqdim etiladi:

uchun olingan  cheksiz qator juda tez yaqinlashadi va shuning uchun hisob-kitoblarda yuqoridagi Navier yechimiga qaraganda qulayroqdir. Yechimdan foydalanib, egilish momentlari, siljish kuchlari va konturdagi bosim uchun osongina ifodalar tuzishimiz mumkin. . Boshqa yo'l bilan olingan tegishli raqamli natijalar jadvalda keltirilgan.
2. Ikkinchi misol sifatida, endi plastinkaning o'qqa parallel bo'lgan tomonlaridan biri yopiq, ikkinchisi esa butunlay erkin bo'lgan holatni ko'rib chiqaylik . Faraz qilaylik, yon tomon o'rnatilgan, keyin mahkamlash shartlari quyidagicha yoziladi.

Qo'llab-quvvatlanadigan qirralarda shartlar bir xil bo'lib qoladi. Bosh integralning (e) ixtiyoriy konstantalari tenglamalardan aniqlanadi

o'rnatilgan tomonda mahkamlash shartlarini va erkin tomon bilan bog'liq boshqa ikkita tenglamani ifodalash.
Agar g'alati bilan bir xil yuk bo'lsa, bizda bor

va ixtiyoriy konstantalarni aniqlash uchun boshqa ikkita tenglama quyidagicha yoziladi:

Ushbu tenglamalarga asoslanib, biz ixtiyoriy konstantalar uchun shunday qiymatlarni olamiz.

Juftlik uchun konstantalar nolga teng.
Konstantalarning qiymatlarini umumiy integral (e) ga almashtirib, biz bir xil taqsimlangan yuk ostida plastinkaning egilishi uchun shunday tez yaqinlashuvchi qator ko'rinishidagi ifodani olamiz:

Plitaning eng katta burilishi plastinkaning erkin chetining o'rtasida bo'ladi. Agar umumiy ifodada qo'llab-quvvatlanadigan uchlari bo'lgan nurlarni faqat faktor bilan o'rnatsak va plastinkaning maksimal og'ishi nurning mos keladigan egilishidan 6,4% ga katta bo'lsa, biz bu chekkaning egilish egri chizig'ini topamiz. Plitaning egilishining nurning burilishiga nisbatan bunday ortiqcha bo'lishi plastinkaning erkin chetida silindrsimon emas, balki antiklastik sirt bo'ylab egilganligi bilan izohlanadi.
Agar biz yana bir ekstremal holatni oladigan bo'lsak, u a bilan solishtirganda kichik bo'lsa, u holda qo'llab-quvvatlanadigan qirralardan uzoqda biz silindrsimon sirt bo'ylab plastinkaning egriligiga ega bo'lamiz. Qo'llab-quvvatlanadigan qirralarga parallel bo'lgan elementar chiziqli nurlar bitta mahkamlangan, ikkinchisi esa erkin uchi bo'lgan nur kabi egiladi. Ushbu nurlarning qattiqligi teng qabul qilinishi kerak.
Turli nisbatlarda plastinkaning eng katta burilish qiymati jadvalda keltirilgan.
Burilish uchun umumiy ifodadan foydalanib, konturdagi egilish momentlari, kesish kuchlari va bosimlar uchun formulalar yasashimiz mumkin. Eng yuqori qiymat eng katta burilish joyida, ya'ni plastinkaning erkin tomonining o'rtasida olinadi. Biz o'rnatilgan chetning o'rtasida eng katta mutlaq qiymatga ega bo'lamiz. Bir qator qiymatlar va qiymatlar jadvalda keltirilgan.
3. Oxirgi misol sifatida, plastinkaning o'qqa parallel bo'lgan tomonlari elastik kontur bilan, masalan, ularga qo'llaniladigan bosimlar ta'sirida egilgan nurlar bilan qo'llab-quvvatlanadigan holatni ko'rib chiqing. Biz bu nurlarning qattiqligini bir xil deb olamiz, keyin plastinkaning chekkalarini mahkamlashning nosimmetrik holatini olamiz. Koordinata o'qlarini rasmda ko'rsatilganidek joylashtirish. 105 va plastinkaning uzunlamasına tomonlari joylashgan nurlarning qattiqligi orqali biz plastinkaning elastik tayanch chetiga shartlarni quyidagicha yozamiz (formulalarga qarang).


Bu shartlardan umumiy integralning ixtiyoriy konstantalarini aniqlash uchun foydalanamiz. Koordinatalarning tanlangan joylashuvi uchun konstantalar yo'qoladi, chunki u y ning juft funksiyasi bo'lishi kerak . Bir xil taqsimlangan yuk bo'lsa, bizga kerak bo'lgan tenglamalar toq uchun quyidagicha yoziladi:

Ushbu tenglamalarni toq uchun yechish, biz hosil bo'lamiz

Hatto konstantalarning ushbu qiymatlarini og'ishning umumiy ifodasiga almashtirish

plastinkaning egilishi, egilish momentlari va konturdagi bosim uchun formulalarni topamiz. Konturning qattiqligi plastinkaning egilishi holatlariga qanday ta'sir qilishini ko'rsatish uchun biz jadvalda keltirilgan. Kvadrat plitaning markazidagi burilish va momentlarning qiymati K. Biz mutlaqo qattiq konturda qo'llab-quvvatlanadigan plastinkaning egilishini olganimizda. At biz ikki tomonni qattiq konturda qo'llab-quvvatlagan holda, qolgan ikkitasi esa butunlay bo'sh bo'lgan holatda kvadrat plastinkaning egilishini olamiz. E'tibor bering, oxirgi holatda, plastinkaning erkin qirralarining o'rtasidagi burilish markazdagi burilishdan kattaroq bo'ladi va bu nuqtalarda u maksimal qiymatga etadi.
Hech qanday qiyinchiliksiz Levi yechimi x o'qiga parallel tomonlari ikkalasi ham yopiq yoki biri yopiq, ikkinchisi qo'llab-quvvatlanadigan yoki, masalan, biri plastinkaning egilishini o'rganish uchun ham qo'llanilishi mumkin. qo'llab-quvvatlanadi, ikkinchisi esa bepul. Levy eritmasi, shuningdek, konturning o'qga parallel bo'lgan tomonlari to'liq qattiq bo'lmagan, lekin ularga qo'llaniladigan bosim ta'sirida egilgan nisbatan moslashuvchan nurlar bo'lgan holatlarga ham osonlik bilan uzaytirilishi mumkin.



Shu tarzda, mutlaqo qattiq konturda qo'llab-quvvatlanadigan va o'rtada qovurg'a bilan mustahkamlangan to'rtburchaklar plastinkani egish muammosi hech qanday qiyinchiliksiz hal qilinishi mumkin. Yagona yuk bilan, bükme yuzasi nisbatan nosimmetrik bo'ladi va plastinkamizning har bir yarmi plastinka sharoitida bo'ladi, uning uch tomoni qattiq kontur bilan qo'llab-quvvatlanadi, to'rtinchisi esa elastik konturga o'rnatiladi. Ushbu to'rtinchi tomon uchun shartlar, agar plastinkamizning pastki yarmini hisobga olsak, quyidagicha yoziladi:

Bu erda qo'llab-quvvatlanadigan chekka bo'ylab shartlarni qo'shsak, biz umumiy integralning ixtiyoriy doimiylarini aniqlash uchun etarli miqdordagi tenglamalarni olamiz.
Agar uzun to'rtburchaklar plastinka ko'p miqdordagi bir xil masofadagi elastik qovurg'alar bilan ta'minlansa u holda plastinkaning ko'ndalang tomonlardan uzoqda joylashgan qismining egilishini o'rganish plastinkani hisoblash uchun qisqartiriladi, unda ikkita tomonlar qo'llab-quvvatlanadi, qolgan ikkitasi esa elastik konturga o'rnatiladi.
To'rtburchaklar va trapezoidal shaklga ega bo'lgan yupqa plitalarni hisoblash uchun Kartezyen koordinatalari qulayroqdir