|
-Y-6 4(л + 3) , л-1 _ lx-\
+ — --1 = +3JC
2 2 10
tenglama jc= 7 bo‘lganda to‘g‘ri tenglikka aylanishini bilish ancha qiyin. Shuning uchun tenglamalami yechishni o‘i^anish muhim.
Ko‘pgina amaliy masalalami yechish
] о
ax = b
ko‘rinishdagi tenglamaga keltiriladi, bunda avab — berilgan sonlar, x — noma’lum son. ( 1) tenglama chiziqli tenglama deb ataladi.
Masalan, 3jc= 1, -2x= 3, = — chiziqli tenglamalardir.
Mashqlar
Tenglik shaklida yozing:
34 soni x sondan 18 ta ortiq;
56 soni 14 sonidan x marta ortiq:
jc va 3 sonlari ayirmasining ikkilangani 4 ga teng;
x va 5 sonlari yig‘inoisining yarmi ularning ko‘paytmasiga teng.
3; -2; 1 sonlaridan qaysi biri tenglamaning ildizi bo'ladi:
3jc = -6; 3) 4x-4 = * + 5;
* + 3 = 6; 4) 5*-8 = 2л +4?
(Og‘zaki.) x ning qanday qiymatlarida tenglama tofg‘ri tenglikka aylanadi:
jc + 5 = -6; 2) 4 — jc = — 1; 3) 2*-l = 0; 4) 3x + 2 = 0?
-1; i; 1 sonlari orasida tenglamaning ildizi bormi:
4(*-l) = 2*-3; 3) 3(jc+2) = 4 + 2jc;
7(* + 1)-6jc = 10; 4) 5(jc + 1)-4* = 4.
Ildizi:
5 soni; 2) 3 soni; 3) -6 soni; 4) -4 soni bo'lgan tenglama tuzing.
a sonni shunday tanlangki, 4* - 3 = 2x + a tenglama
jc= 1; 2) x = -l; 3)* = ^; 4) jc=0,3 ildizga ega bo‘lsin. f
/
7_ I Bir noma’lumli birinchi darajali tenglamalarni & j yechish
Al-Xorazmiyning „Kitob al-muxtasar fi hisob al-jabr val-muqo- bala“ asaridagi al-jabr musbat hadlami tiklash, ya’ni manfiy hadlami tenglamaning bir qismidan ikkinchi qismiga musbat qilib o‘tkazishni, val-muqobala esa tenglamaning ikkala qismidan teng hadlami tashlab yuborishni bildirgan.
Bu bir noma’lumli tenglamalarni yechish to‘g‘ri tengliklaming sizlarga ma’lum xossalariga asoslangan ekanini ko‘rsatadi. Shu xossalami eslatib o‘tamiz.
Xossanmg so‘z bilan ifodalanishi
|
Xossaning umumiy ko'rinishda yozilishi
|
Misol
|
Agar to'g'ri tenglikning ikkala qismiga bir \il son qo'shilsa voki ikkala qismidan bir xil son ayi- rilsa. u holda yana to'g'ri tenglik hosil bo‘lad i.
Agar to'g'ri tenglikning ikkala qismini nolga teng bo lmagan ayni bir songa ko'paytirilsa \oki bo'linsa. u holda \ ana to'g'ri tenglik hosil bo'ladi.
|
Agar a = b bo'lib, / ixtivoriy son bo'lsa, u holda a + 1 = = b + l. a -/= b-/bo'ladi.
Agar a = b bo'lib. m ф 0 bo'lsa. u holda a - m = b- m va a : m = b : m bo'ladi.
|
7 = 7 7 + 2 =7 + 2 1-2=1-2
27 = 27 27 - 3 = 27-3 27 : 3 = 27 : 3
|
Birinchi xossadan qo'shiluvchilami, ulaming ishoralarini qarama- qarshisiga almashtirib, tenglikning bir qismidan ikkinchi qismiga olib o‘tish mumkinligi kelib chiqadi.
Aytaylik, a = b + m bo‘lsin, u holda
a + (-m) = b + m + (-m)\ a-m = b. •
Tengliklaming bu xossalari tenglamalarni yechishda qanday qo‘llanishini ko‘raylik.
- m a s a 1 a. 9jc - 23 = 5x -11 tenglamani yeching.
a x son berilgan tenglamaning ildizi, ya'ni jc shunday sonki, uni tenglamaga qo‘yilganda tenglama tokg‘ri tenglikka aylanadi, deb faraz qilamiz.
Noma’lum qatnashgan 5x hadni ishora bilan tenglikning chap qismiga, -23 hadni „+“ ishora bilan o‘ng qismiga olib o‘tamiz. Natijada yana to‘g‘ri tenglik hosil bo‘ladi:
9x-5jc = 23-11.
Tenglamaning ikkala qismidagi o‘xshash hadlami ixchamlab,
4jc = 12
tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglamaning ikkala qismini 4 ga bo‘lib x = 3 ekanini topamiz.
38
Shunday qilib, tenglama ildizga ega deb faraz qilib, bu ildiz faqat 3 soniga teng bo‘lishi mumkinligini ko‘rdik. x= 3 haqiqatan ham berilgan tenglamaning ildizi bo‘lishini tekshiramiz: 9 3- -23 = 5-3-11. Bu to‘g‘ri tenglik, chunki uning chap va o‘ng qismlari birgina 4 soniga teng.
Demak, berilgan tenglama faqat bitta ildizga ega: x= 3. ▲ Tekshirishni bajarmaslik ham mumkinligini ta’kidlaymiz, chunki tengliknmg foydalanilgan xossalari bir to‘g‘ri tenglikni ikkinchi to‘g‘ri tenglik bilan almashtirishga imkon beradi. Yechishning bu usulida har doim to‘g‘ri natija hosil qilinadi (agar hisoblashlarda xatolikka yoi qo‘yilmasa, albatta).
|
|
5jc0)=(3x)+ 11
|
AL-JABR: 3x, chapga - 3x bo‘lib o‘tasan!
|
V
|
-7, sen o‘ngga +7 bo‘lib o‘tasan!
|
5x - 3x = 11 + 7
|
^ -/> + 2jc + 8 Л
|
VAL-MUQOBALA: chap va o‘ng
|
|
qismdagi - 5 lar-u, 4x lar,
|
2.x = 8
|
|
|
sizlar bilan xayrlashamiz!
|
Tenglama yechilishini yozishda 1- masalani yechishdagidek batafsil yozma tushuntirishlami bajarish shart emas.
Masalan, 5jc + 17 = 2jc+5 tenglamaning yechilishini bunday yozish mumkin:
5jc-2x = 5-17, 3jc = —12, * = -4.
Javob: x = -4.
2-masala. 2(x+3)-3(jc+2) = 5-4(jc+1) tenglamani yeching.
a Tenglamaning chap va o‘ng qismlarini soddalashtiramiz: qavslami ochamiz va o‘xshash hadlami ixchamlaymiz. Natijada 2x + 6-3x-
6 = 5 - 4x - 4, - jc = - 4x + 1 tenglamani hosil qilamiz.
39
Demak, Зх = 1. bundan x = ^. ▲
_ , 5.v■ jc-3 , x-5 . . , .
- masala. — — = !+—— tenglamani yeching.
3 6
A Tenglamaning ikkala qismini kasrlarning umumiy maxrajiga, ya’ni 6 ga ko‘paytiramiz, u holda
—6 = 1-6 + —6; 1 5jc - 2(jc - 3) = 6 + (jc - 5).
3 6
Qavslami ochamiz va o xshash hadlami ixchamlaymiz: 15*-2л:+6 = 6 + *-5; 13л: + 6 = л: + 1,
bundan 1 2jc = —5, x = —A
12
S
m
UUl
hunday qilib, tenglamani yechishda tenglamaning quyidagi asosiy xossalaridan foydalaniladi.
- x о s s a. Tenglamaning istalgan hadi ishorasini qarama- qarshisiga о ‘zgartirib, uning bir qismidan ikkinchi qismiga о ‘tkazish mumkin.
- x о s s a. Tenglamaning ikkala qismini nolga teng bo ‘Imagan bir xil songa ко ‘paytirish yoki bo ‘lish mumkin.
Bu xossalar bir noma’lumli istalgan tenglamani yechish imkonini beradi. Buning uchun:
noma’lum qatnashgan hadlarni tenglikning chap qismiga, noma’lum qatnashmagan hadlami esa o‘ng qismiga o‘tkaz.sh lozim (1-xossa);
o‘xshash hadlami ixchamlash kerak;
tenglamaning ikkala qismini noma’lum oldida turgan koeffitsiyentga (agar u nolga teng bo‘lmasa) bo‘lish (2-xossa) kerak.
Ko‘rib chiqilgan misollarda har bir tenglama bitta ildizga ega bo‘ldi. Ammo ba’zi hollarda bir noma’lumli tenglama ildizlarga ega bo‘lmasligi mumkin yoki cheksiz ko‘p ildizlarga ega boiishi mumkin. Shunday tenglamalarga misollar keltiramiz.
- m a s а 1 а. 2(х+1) -1 = 3 - (1 - 2х) tenglama ildizlarga ega emas- ligini ko‘rsating.
A Tenglamaning ikkala qismini soddalashtiramiz:
2x+2-l = 3-1 + 2*, 2x + l = 2 + 2x,
bundan
2jc — 2jc = 2 — 1, 0 ■ jc = 1.
Bu tenglama ildizlarga ega emas, chunki uning 0 ■ x dan iborat chap qismi nolga teng va, demak, 1 ga teng emas. ▲
5-masala. 3(1 — jc) + 2=5—3jc tenglama cheksiz ko‘p yechimlarga ega ekanligini ko‘rsating.
A Tenglamani soddalashtiramiz: 3-3x+2 = 5-3*; 5-3jc = 5-3x. Oxirgi tenglik x ning istagan qiymatida to‘g‘ri bo‘ladi. Demak, x ning istalgan qiymati bu tenglamaning ildizi bo‘ladi. ▲
Mashqlar
Tenglamani yeching (85 — 96):
1) 11* = 50; 2) -9x = 243; 3) 4* = 0,24; 4) 7x = 7,063.
1) 9jc = ^; 2) 3x = 2|; 3) ^x = 3; 4) =
1) 0,3x: = 6; 2) 1,3jc = -1,69; 3) 0,7jc = 49; 4) 10* = 0,5.
88. 1) 8jc = 8; 2) -jc = 16; 3) 32* = 243; 4) I6x = 16.
Do'stlaringiz bilan baham: |
